Порядок на множестве натуральных чисел - раздел Компьютеры, Фундаментальная и компьютерная алгебра На Множестве Имеется Отношение Линейного Порядка. Скажем, Что N<m, Если На...
На множестве имеется отношение линейного порядка. Скажем, что n<m, если найдется натуральное число k такое, что n+k=m. Отношение n≤ m тогда получается из отношения строгого неравенства простой логической операцией: n≤ m означает, что либо n=m, либо n<m. Например, 5≤ 5 -- верное высказывание. Отметим фундаментальные свойства неравенств.
· Если n>m, то n+k>m+k для любого k. То же свойство справедливо для нестрогого неравенства.
· Если , то для любого k∈ ℕ. Если , то для любого .
Натуральные числа, а также множество среди других числовых систем обладают свойством полной упорядоченности: любое непустое подмножество натуральных чисел M имеет наименьший элемент min M. Докажем это утверждение.
Пусть и M≠ ∅ . Обозначим через [0,n] множество целых неотрицательных чисел больше либо равных 0 и меньше либо равных n. В начале, индукцией по n установим, что если пересечение M∩ [0,n] не пусто, то существует min M. База индукции -- случай n=0. Тогда min M=0. Пусть утверждение доказано для n, проверим, что тогда оно справедливо и для n+1. Имеем M∩ [0,n+1]≠ ∅ . Eсли, кроме того, M∩ [0,n]=∅ , то min M=n+1, иначе M∩ [0,n]≠ ∅ и можно воспользоваться предположением индукции. Итак, принцип индукции позволяет утверждать, что если M∩ [0,n]≠ ∅ для какого либо n∈ ℕ_0, то существует min M. Но для непустого множества M это условие заведомо выполняется, достаточно выбрать m∈ M и тогда m∈ M∩ [0,m], откуда M∩ [0,m]≠ ∅ .
Принцип полной упорядоченности эквивалентен принципу индукции. Сформулируем и докажем принцип индукции в другой редакции:
Пусть мы имеем серию утверждений: . Известно, что утверждение справедливо, а также известно, что если справедливо для всех k<n, то и тоже истинно. Тогда все утверждения верны.
Для обоснования этого утверждения рассмотрим множество M всех натуральных чисел m таких, что не верно. Если M непусто, то существует m=min M. Число m не равно 1 в силу истинности . Кроме того, для любого k<m утверждение справедливо, ибо k∉ M. Но тогда и верно. Получаем противоречие с тем, что ложно в силу того, что m∈ M. Противоречие показывает, что M=∅ , тем самым нет ни одного натурального k такого, что ложно. Значит все утверждения истинны.
Введение... Курс Фундаментальная и компьютерная алгебра предназначен для студентов специальностей Математика Прикладная...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Порядок на множестве натуральных чисел
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Н.И.Дубровин
Спасское Городище 2012
Оглавление
Введение. 4
Список обозначений и терминов. 5
1 Немного о БЕЙСИКе. 6
2 Наивная теория множеств. 9
Немного о БЕЙСИКе
В математике имеют дело с такими объектами как числа разной природы (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены одной и нескольких переменных, матриц
Наивная теория множеств.
Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям называются одним из следующих терминов:
Декартовы произведения
Упорядоченная пара, или просто пара элементов это одна из фундаментальных конструкций в математики. Представлять её можно как полочку с двумя местами -- первым и вторым. Очень часто в математике не
Натуральные числа
Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см.
Рекурсия
От аксиом N1-N3 до знакомых всем с начальной школы операций сложения и умножения натуральных чисел, сравнения натуральных чисел между собой и свойств вида "от перемены мест слагаемых сумма не
Делимость натуральных чисел
Операция деления не всегда возможна в области натуральных чисел. Это дает нам право ввести отношение делимости: скажем, что число n делит число m, если m=nk для какого-либо подходящего k∈
Делимость целых чисел
Обозначим через -- кольцо целых чисел. Термин «кольцо» означает, что мы имеем дело с множеством R, на котором заданы две операции – сложение и умножение, подчиняющиеся известным пра
Алгоритм Евклида
Дана пара целых чисел (m,n). Считаем n остатком с номером 1. Первый шаг алгоритма Евклида – делим m на n с остатком, а далее делим остаток на вновь получившийся остаток, покуда этот вновь получивши
Матричная трактовка алгоритма Евклида
Придадим матричную трактовку алгоритму Евклида (о матрицах см. следующий параграф). Перепишем последовательность делений с остатком в матричном виде:
Подставляя в каждое по
Элементы логики
Математики имеют дело с объектами, такими как, например, -- числа, -- функции, -- матрицы, -- прямые на плоскости и т.д., а также имеют дело с высказываниями. Высказывание есть некоторое повествова
Высказывательные формы
Будет ли выражение высказыванием? Нет, эта запись есть высказывательная форма от одной переменной . Если вместо переменной подставлять допустимые значения, то получаем различные высказывания, котор
Матричная алгебра
Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая алгебраическая система с множеством операци
Определители
Определитель квадратной матрицы A есть ее числовая характеристика, обозначаемая или . Начнем с определителей матриц малых размерностей 1,2,3:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пу
Линейные преобразования плоскости
Известно, что любое преобразование плоскости ϕ, сохраняющее расстояния, есть либо параллельный перенос на вектор , либо поворот вокруг точки О на угол α, либо симметрия относительно прямо
Комплексные числа
В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в это
Конструкция поля комплексных чисел.
Мы фактически уже построили поле комплексных чисел в предыдущем параграфе. В силу исключительной важности поля комплексных чисел приведем его непосредственную конструкцию. Рассмотрим пространство с
Сопряжение комплексных чисел
Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя).
Комплексное число называется сопряженным к , а отоб
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Величину назовем нормой числа , иногда удобнее пользоваться е
Комплексная экспонента
Правило (2) параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:
&
Решение квадратных уравнений.
Линейный многочлен при всегда имеет корень . Квадратный трехчлен уже не всегда имеет корни над полем действительных чисел.
Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел ( ). Обоз
Основная теорема алгебры комплексных чисел
Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный
ТЕОРЕМА об отношении эквивалентности
Пусть “ ” – отношение эквивалентности на множестве М. Для элемента обзначим через класс эквивалентности. Тогда множество М разбивается в объединение классов эквивалентности; каждый элемент из М при
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов