Двоичная система счисления

В зависимости от основания принятой системы счисления для изображения числа в машине в каждом разряде требуется различное число элементов или устойчивых состояний элемента. Большинство механических вычислительных устройств работали в десятичной системе счисления. Каждому разряду в них соответствует элемент, имеющий 10 различных состояний. Например, в русских счетах для изображения одного разряда числа употребляется спица с 10 косточками, а в арифмометре – шестерня с 10 зубьями, расположенными по окружности через каждые 36 градусов. Для механических элементов выбор системы счисления не очень важен: для пятеричной системы можно надеть на спицу 5 косточек (так и сделано на китайских счетах суан-пан), а для двенадцатеричной – сделать шестерни с 12 зубьями через 30 градусов вместо 36.

Наиболее естественным было бы использование для изображения чисел в ЭВМ десятичной системы счисления. Но для построения ЭВМ оказались более удобными другие системы счисления, отличные от десятичной. И вызвано это тем, что для электронных и некоторых электромеханических элементов характерно наличие двух устойчивых состояний. Так, например, электромеханическое реле может быть замкнуто или разомкнуто, конденсатор заряжен или разряжен, электронная лампа может проводить или не проводить ток. Магнит может находиться в одном из двух состояний намагниченности. Применение элементов, имеющих два различных устойчивых состояния, требует применения системы счисления, использующей только две цифры. Таковой является двоичная система счисления. Кроме удобства изображения чисел с помощью электронных элементов, двоичная система обладает рядом преимуществ при выполнении арифметических операций. Поэтому конструкция ЭВМ предусматривает в основном представление чисел в двоичной системе счисления.

Двоичная система есть позиционная система счисления с основанием два. Для изображения чисел в этой системе требуется лишь две цифры: 0 и 1. Благодаря этому числа можно изображать с помощью элементов, имеющих два устойчивых состояния: одно из них принимается за изображение нуля, другое – за изображение единицы. Основание двоичной системы «два» изображается в этой системе как 10. Нетрудно видеть, что следующим числом будет число 11, затем 100 и т.д. Первые числа натурального ряда выражаются в двоичной системе счисления так:

Из приведенной записи видно, что степени основания, т.е. 21, 22, 23, ..., в двоичной системе счисления представляются как набор нулей и единиц, причем количество нулей совпадает с показателем степени при основании. Аналогично и в десятичной системе – степени основания 10 представляются таким же набором нулей и единиц.

Следует отметить, что запись числа в двоичной системе счисления значительно длиннее десятичной записи: для записи произвольного целого числа в двоичной системе требуется в среднем в 3 раза больше разрядов, чем в десятичной. Поэтому при обычном ручном счете десятичная система удобнее двоичной. Однако в электронных машинах важно не количество разрядов (элементов), а общее количество устойчивых состояний всех элементов, необходимых для изображения чисел.

Рассмотрим организацию двоичной системы счисления на примере десятичной системы. Десятичное число 325 можно представить следующим образом:

325=300+20+5=3·100+2·10+5·1=3·10²+2·10¹+5·10⁰.

Точно также строится и любая другая система счисления, в том числе и двоичная. Произвольное число в двоичной системе счисления будет изображаться последовательностью цифр:

a_n...a₀,a_-1...a_-m=a_n·2ⁿ+...+a₀·2⁰+...+а_-1·2^-1+...+а_-m·2^-m,

где каждый из коэффициентов может принимать значение 0 или 1.

Рассмотрим для примера двоичное число 1001, (оно соответствует десятичному числу девять):

1001₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰=8+1=9₁₀.

Арифметические действия в двоичной системе счисления производятся по обычным правилам арифметики согласно соответствующим таблицам.