Реферат Курсовая Конспект
Момент количества движения - раздел Программирование, Операторы Для Интереса Рассмотрим Еще Одну Операцию — Операцию Орбитального Момента Кол...
|
Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы определили оператор J^z через R^z(j) — оператор поворота на угол j вокруг оси z. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией y(r), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор L^z и определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол e формулой
(напоминаем: это определение применимо только к состоянию |y>, у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат r: х, у, z). Если мы взглянем на состояние |y> из новой системы координат, повернутой вокруг оси z на небольшой угол e, то увидим новое состояние:
Если мы решили описывать состояние |y> в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции y (r), то следует ожидать такого равенства:
Что же такое? А вот что. Точка Р (х, у) в новой системе координат (на самом деле х', у', но мы убрали штрихи) раньше имела координаты x-ey и y+ex (фиг. 18.2).
Фиг. 18.2. Поворот осей вокруг оси z на малый угол e.
Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р, не меняется от поворота системы координат, то можно писать
(напоминаем, что e — малый угол). Это означает, что
Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:
Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операторам, можно написать
Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики: это z-компонента векторного произведения
L=rXp.(18.72)
Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том, что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет? Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики.
Вот вам уравнение, которое отличается. В классической физике
хрх-рxх=0.
А что в квантовой механике?
Подсчитаем это в x-представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим это к некоторой волновой функции y(x). Пишем
или
Вспомним теперь, что производные действуют на всё, что справа. Получаем
Ответ не нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на -h/i:
Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики!
Отметим, что если два каких-то оператора А и В, взятые в сочетании
не дают нуля, то мы говорим, что «операторы не перестановочны», или «операторы не коммутируют». А уравнение наподобие (18.74) называется «перестановочным соотношением». Вы можете сами убедиться, что перестановочное соотношение для pх и у (или коммутатор рх и у) имеет вид
Существует еще одно очень важное перестановочное соотношение. Оно относится к моментам количества движения. Вид его таков:
Если вы хотите приобрести некоторый опыт работы с операторами x^ и p^, попробуйте доказать эту формулу сами.
Интересно заметить, что операторы, которые не коммутируют, можно встретить и в классической физике. Мы с этим уже сталкивались, когда говорили о поворотах в пространстве. Если вы повернете что-нибудь, например книжку, сперва на 90° вокруг оси х, а затем на 90° вокруг оси у, то получится совсем не то, что было бы, если бы сначала вы повернули ее на 90° вокруг оси у, а после на 90° вокруг оси х. Именно это свойство пространства и ответственно за уравнение (18.75).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Операторы"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Момент количества движения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов