Геометрические приложения определенного интеграла
Геометрические приложения определенного интеграла.
Длина плоской кривой.
Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую
.
Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.
Рассмотрим промежуток . Приращение равно длине дуги, заданной на отрезке . Запишем оценку для приращения длины на этом промежутке:
.
Здесь , соответственно, наибольшие и наименьшие значения модулей производных и на отрезке . Из непрерывности…
.
Принимая за параметр, ее можно записать в параметрическом виде:Применив (1),… .
В этом случае
.
Множество чисел точную нижнюю грань . Очевидно, что , если же эти числа совпадают, то общее их значение называют площадью фигуры , а саму эту фигуру…
. Из интегрируемости на отрезке следует, что , а, значит, фигура квадрируема и
.
Если функция отрицательна, то интеграл равен площади, взятой со знаком минус, если же меняет знак, то равен…
.
Пример 5. Найти площадь сектора, ограниченного окружностью и лучами и .
Решение: .