Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла
ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
ЛЕКЦИЯ № 4
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЛАН
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Интегральная сумма. Определенный интеграл.
3. Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла.
4. Свойства определенного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Пусть дана непрерывная неотрицательная функция .
Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции
, снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-
Пусть материальная точка М перемещается по действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся…
Рассмотрим отрезок оси Ох и будем считать, что отрезок - это материальный стержень, имеющий определенную массу, у которого всеми размерами, кроме… Определение. Плотностью прямолинейного стержня называется количество
массы, приходящейся на единицу его длины
Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства в зависимости от времени t. Найдем объем продукции U, произведенной за… Если производительность не изменяется с течением времени, то за промежуток… Для нахождения объема продукции U, произведенной за промежуток времени при меняющейся во времени производительности ,…
Рассмотрим на отрезке непрерывную функцию , принимающую неотрицательные значения .
Выполним следующие действия:
1. С помощью точек , где , разобьем отрезок на n-частичных отрезков .
Исходя из задачи о площади криволинейной трапеции, получаем геометрический смысл определенного интеграла:
площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной сверху кривой , снизу отрезком
Возвращаясь к задаче о работе переменной силы, получаем физический смысл определенного интеграла: работа переменной силы , величина которой есть… . (20)
На основании задачи о массе неоднородного стержня, имеем механический смысл определенного интеграла: масса m неоднородного стержня на отрезке равна… . (21)
На основании задачи об объеме выпускаемой продукции и определения интеграла, получаем экономический смысл определенного интеграла
, (22)
то есть объем выпускаемой продукции за промежуток численно равен значению определенного интеграла от…
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая, что подынтегральные функции и интегрируемы на отрезке .
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Доказательство.
. Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.
.
Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку с в число точек… Если , то интегральную сумму можно разбить на две суммы: