рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Базис и координаты вектора.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Базис и координаты вектора.

Базис и координаты вектора. - раздел Математика, Основные свойства определителей Определение 5.7. Линейной Комбинацией...

Определение 5.7. Линейной комбинацией векторов а_1,а₂,…,а_nназывается выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, (5.1)

где k_i – числа.

Определение 5.8. Векторы а_1,а₂,…,а_nназываются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁, k₂,…, k_n, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n = 0. (5.2)

Если же равенство (5.2) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Определение 5.9. Векторы называютсякомпланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.

Определение 5.10. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называютсякоординатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c –базис и d = ka+ mb+ pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

Свойства базиса:

Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Определение 5.11. Проекциейвектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси u, где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.

Обозначение: пр_uа.

Свойства проекции:

Пр_ua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.

При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.

При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

Замечание. Свойства 2 и 3 назовем линейными свойствами проекции.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk. (5.3)

Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.

, , .

cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основные свойства определителей

Определение матрицы Определители второго и третьего порядков их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения разложение определителя по... Определение Матрицей называется прямоугольная таблица чисел...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис и координаты вектора.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные свойства определителей.
Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка). Свойство 1. Определитель не изме

Разложение определителя по строке.
Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный

Лекция 2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
Определение 2.1. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число. Определение 2.2. Линейно

Метод Гаусса решения линейных систем.
Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения. Примеры: 1.

Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элем

Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именн

Обратная матрица.
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и не

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
Рассмотрим линейную систему (2.3): и введем следующие обозначения:

Теорема о ранге.
Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы. Определение

Совместность линейных систем.
Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Общее решение однородной линейной системы.
Рассмотрим однородную линейную систему . (4.2) Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку и

Структура общего решения неоднородной линейной системы.
Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2): . Докажем следующие свойства ее решений

Лекция 5.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. &n

A a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.
Свойство 2 доказано. b+с O cС Свойство 3. Для любого

Скалярное произведение векторов.
Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ab =

Векторное произведение векторов.
Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведениемвекторов аи b, если:

Смешанное произведение векторов.
Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи с называется результат скалярно

Прямая на плоскости.
Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору

Неполные уравнения прямой.
Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возмож

Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых. 1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями А1х + В1у + С1 = 0 и А

Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n

Неполные уравнения плоскости.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений: 1) D = 0 – плоскость Ax + By +

Перпендикулярности плоскостей.
Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида: A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2

Прямая в пространстве.
Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в п

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения.
Определение 9.1. Кривыми второго порядкана плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эллипс.
Определение 9.2. Эллипсомназывается множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плос

Гипербола.
Определение 9.5. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2

Парабола.
Определение 9.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно рассто

Эллипсоид.
Определение 10.2. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяется уравнением

Гиперболоиды.
Определение 10.3. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими ура

Параболоиды.
Определение 10.4. Параболоидаминазываются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями