ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Введение
Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала.
В каждом параграфе содержатся основы теории, подробно разобраны примеры и приведены упражнения для самостоятельного решения. В конце пособия предлагаются типовые индивидуальные задания.
Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.
С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.
Авторы выражают искреннюю признательность О.М.Дмитриевой и Г.М.Тащияну за неоднократные полезные обсуждения.
Литература.
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.
2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство «Лань», 1998.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
4. Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1999. Ч.1.- 304 с. - Ч.2. - 416 с.
5. Фридман Г. Н., Леора С.Н. Математика & Mathematica. Избранные задачи для избранных студентов. – Невский Диалект, БХВ-Петербург , 2010, 299 с.
Системы линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида
(7)
где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.
Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.
(8)
В противном случае линейная система называется неоднородной.
Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:
, (9)
при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.
Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.
Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы
– матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец свободных членов,
- матрица-столбец неизвестных.
Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения
,
а решение (9) в виде матрицы-столбца .
Матрица коэффициентов
называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,
называется расширенной матрицей системы.
Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.
Решение линейных систем по формулам Крамера
Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
Рассмотрим линейную систему общего вида:
Индивидуальное задание
Каждый студент выполняет задание при конкретных значениях и , которые определяются по номеру в журнале группы: −первая цифра номера по списку, − вторая. Если номер по списку однозначный .
№ | ||||||||||
№ | ||||||||||
№ | ||||||||||
1. Вычислить определители:
, , .
2. Даны матрицы:
, , , .
Вычислить:
a) , где - единичная матрица;
b)
c) (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).
3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).
.
4.Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:
а) б)
5.Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует:
а)
б)
в)
6. Исследовать и решить системы уравнений:
а)
б)
в)
Приложение
Здесь приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA. Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.
Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.
Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.
Найти эти форматы можно в справке VIRTUAL BOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.
Использование традиционной символики.
In[23]:= m = {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}
In[24]:= TraditionalForm[m]
Out[23]= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}
Out[24]//TraditionalForm
=
[1] Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.