Собственные числа и собственные векторы .

Собственные числа и собственные векторы

Ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного преобразования А , соответствующим собственному числу альфа , если .

Если -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

Пусть х -- собственный вектор линейного преобразования А , соответствующий собственному альфа числу и пусть а -- ненулевое число. Тогда ах -- тоже собственный вектор линейного преобразования А, соответствующий собственному числу альфа.

Ненулевая матрица-столбец а называется собственным вектором квадратной матрицы А , соответствующим собственному числу альфа , если выполнено равенство .

Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

 

Собственными числами матрицы А являются корни уравнения

Матрица называется характеристической матрицей матрицы А , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Определитель является многочленом степени n от переменного альфа , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

12.Векторы.Операции над векторами. Свойствам этих векторов.

Вектором называется направленный отрезок.

Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектор.

 

Операции над векторами.

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю.

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы

Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и

Разностью векторов a и b называется сумма

Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

и, если , то еще двумя условиями:

 

2) вектор b коллинеарен вектору a;

 

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:

1) (свойство коммутативности операции сложения);

2) (свойство ассоциативности операции сложения);

3) ;

4) ;

5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);

6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);

7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;

8)