Ранг матриці

Розглянемо матрицю = . Мінором k-го порядку матриці А називають визначник матриці, усі елементи якого знаходяться на перетині вибраних k рядків і k стовпців матриці А, і позначається . Порядок мінору матриці не може бути більшим, ніж найменше з чисел m, n, тобто .

Ранг матриці А – це число r яке дорівнює найвищому порядку відмінного від нуля її мінору: . Для знаходження рангу матриці використовують еквівалентні перетворення матриць. Можна довести, що ранги еквівалентних матриць однакові.

Приклад. Знайти ранг матриці

.

Знайдемо мінор 3-го порядку

.

Але маємо мінор другого порядку, який відмінний від нуля:

.

Таким чином, ранг матриці дорівнює 2.

Для обчислення рангу матриці важливе значення мають елементерні перетворювання матриці, при яких її ранг не змінюється. Елементарними перетворюваннями матриці називають:

а) множення всіх елементів рядка на одне і те саме число, відмінне від нуля;

б) додавання до елементів ряда матриці відповідних елементів іншого ряда, помножених на одне і те саме число;

в) переміщення місцями рядів в матриці;

г) викреслення рядів матриці, всі елементи яких дорівнюють нулю.

Матриці,що одержуються елементарними перетворюваннями,називаються еквівалентними .

Приклад: Знайти ранг матриці

.

,

тобто ранг матриці дорівнює 2.