Все вопросы с доказательствами, за исключением особо оговоренных).

1. Определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиомы.

2. Линейная комбинация векторов, линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

3. Базис и размерность линейного пространства. Примеры. Связь между этими понятиями.

4. Разложение вектора по базису, единственность разложения. Линейные операции над векторами в координатной форме.

5. Ранг системы векторов. Теорема о ранге системы векторов (без док-ва) и ее следствия.

6. Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка системы векторов и ее основное свойство.

7. Линейное преобразование линейного пространства. Матрица перехода. Связь между координатами вектора в новом и старом базисе.

8. Вещественное евклидово пространство. Определение. Примеры. Норма вектора. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника. Ортогональность векторов.

9. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Теорема о существовании ортонормированной системы векторов в -мерном евклидовом пространстве. о существовании ортонормированного базиса конечномерного евклидова пространства. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта (без док-ва).

10. Вычисление скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.

11. Линейный оператор. Определение. Примеры. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Действия над линейными операторами и соответствующими им матрицами, их свойства (без док-ва).

12. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, подобные матрицы.

13. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Независимость спектра собственных значений от выбора базиса.

14. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям. Теорема о собственных векторах, соответствующих одному и тому же собственному значению. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

15. Самосопряженный оператор. Теорема о симметричности его матрицы. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора (без док-ва) и ее следствия.

16. Теорема о собственных векторах самосопряженного линейного оператора. Теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного оператора (случай кратных корней без док-ва).

17. Ортогональные матрицы и их свойства.

18. Ортогональные преобразования и их матрицы в ортонормированном базисе.

19. Приведение матрицы самосопряженного линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Следствие для симметрических матриц.

20. Билинейная форма и ее матрица. Симметричная билинейная форма. Теорема о ее матрице. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

21. Квадратичная форма, ее матрица и ранг. Изменение матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Инвариантность ранга квадратичной формы относительно выбора базиса. Канонический вид квадратичной формы.

22. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

24. Закон инерции квадратичных форм (без док-ва). Знакоопределенность квадратичных форм и их матриц. Критерий Сильвестра (без док-ва).

25. Приведение линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Контроль по модулю №2 ― «Функции нескольких переменных»

Задание аттестационной работы по второму модулю состоит из пяти пунктов: теория с доказательством, формулировка теоремы с примером и три практических задания. Каждый вопрос оценивается в баллах. Максимальное количество баллов за ответы составляет 20 баллов. Дополнительные 3 балла начисляются в случае, если работа написана на зачетный минимум (12 баллов) с первой попытки.