Реферат Курсовая Конспект
Пары форм. - раздел Математика, АЛГЕБРА Пусть Дана Пара Действительных Квадратичных Форм От ...
|
Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных, и . Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?
В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм
.
Пусть существует невырожденное линейное преобразование
приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентов должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое . Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных , можно положить, что и поэтому . Мы получим теперь, однако, что
.
Так как форма также должна была перейти в канонический вид, то , т. е. , что вместе с противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.
Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например , является положительно определенной.
ТЕОРЕМА. Если и пара действительных квадратичных форм от неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму к нормальному виду, а форму к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных ,
,
приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,
.
Форма перейдет при этом в некоторую форму от новых неизвестных,
.
Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных ,
,
приводящее форму к главным осям,
.
Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных в сумму квадратов неизвестных (что следует из формулы ). В результате мы получаем
,
.
т. е. линейное преобразование
является искомым. □
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Пары форм.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов