Теорему доведено.

2.2 Підстановки n-го степеня.

Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.

Будемо записувати підстановку у два рядки: у першому будуть вихідні елементів, а у другому – їх образи.

Наприклад:

 

Поставимо 2 питання:

1) Скільки форм запису однієї ї тієї підстановки.

2) Скільки різних підстановок n-го степеня можна скласти.

На обидва питання відповідь:

Розглянемо перше питання. Різні форми запису можна отримати за рахунок різного розташування стовпчиків перестановок. З теорії перестановок відомо, що їх буде n!.

Розглянемо друге питання. Зафіксуємо елементи у першому рядку. Очевидно, що підстановки будуть різними, якщо відрізняються відповідно образи у другому рядку. Отже кількість підстановок дорівнюватиме кількості перестановок елементів другого рядка, а їх, як відомо, n!.

Означення. Підстановка називається парною, якщо парності верхньої і нижньої перестановок однакові, тобто обидві перестановки або парні або непарні.

Означення. Підстановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок є парним числом, в супротивному разі перестановка непарна.

Теорема. При n≥2 кількість парних підстановок дорівнює кількості непарних підстановок, тобто дорівнює .

Запишемо всі підстановки у вигляді:

 

Твердження теореми випливає з відповідної теореми для перестановок. Дійсно, тоді парність підстановки визначається лише парністю нижньої перестановки, а парних нижніх існує .

Зауваження. Для самостійного доведення залишається факт, що означення парності підстановки не залежить від форми запису цієї підстановки.

2.3 Поняття і властивості визначника n-го порядку

На практичних заняттях було введено поняття визначника другого і третього порядків. Це були числа, отримані за певними законами з таких таблиць- матриць другого і третього порядків відповідно:

s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Визначник другого порядка – це число, що позначаєтьсяі яке дорівнює алгебраїчній сумі, аналогічно визначник третього порядку:

Ми хочемо узагальнити це поняття, тобто отримати визначник -го порядку таким чином, що з нього при та отримати попереднє.

Аналіз обчислення визначників другого і третього порядків приводить до доцільності такого означення:

Означення. Визначником -го порядку, що відповідає матриці:

 

називається алгебраїчна сума доданків, кожний з яких є добутком елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці, причому зі знаком "+", якщо підстановка складена з перших і других індексів, парна і зі знаком "–", якщо вона непарна.

Отже визначник -го порядку складається з доданків вигляду , де – кількість інверсій у перестановці α₁,α₂,…,α_n.

Для визначника вводять позначення:

 

Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо його рядки зробити відповідними стовпцями.

Розглянемо визначник d.

 

 

 

Стверджується, що

Розглянемо загальний член визначника d:
(1) – загальний член d.
α₁,α₂,…,α_n - перестановка з 1,2,…,n
Запишемо член (1) в позначках ij.

(1)
Таким чином (1) є членом і визначника d₁. З′ясуємо, з яким знаком (1) входить до визначника d₁. Знак члена (1) в d визначається парністю підстановки

Знак (1) в d₁ визначається парністю підстановки

Ці підстановки, взагалі кажучи, різні, але парності в них однакові, тому що загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок однакова, тому і знаки члена (1) в d і d₁ однакові.

Це перетворення, при якому всі рядки стають відповідними стовбцями, називається транспонуванням.

Властивість 2. Якщо в визначнику поміняти місцями будь які 2 рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.

Доведення за схемою властивості 1.

Насправді, нехай у визначнику міняються місцями i-ий та j-ий рядки, , а всі інші рядки залишаються на місці. Ми отримаємо визначник :

 

.

 

Якщо (1) є членом визначника , то всі його елементи і у визначнику залишаються, очевидно, в різних рядках і різних стовпцях. Таким чином, визначники d та d₁ складаються з одних і тих же членів.

Члену (1) у визначнику відповідає підстановка (2),

а у визначнику - підстановка (3).

Підстановку (2) можна одержати з підстановки (1) однією транспозицією в верхньому рядку, тобто вона має протилежну парність. Звідси випливає, що всі члени визначника d входять до визначника d₁ і відрізняються лише знаком.

Властивість 3.Якщо в визначнику є нульовий рядок, то визначник дорівнює 0.

Нехай усі елементи і-го рядка визначника є нулями

За означенням визначник n-го порядку це алгебраїчна сума n доданків, кожний з яких є добутком n елементів, узятих по одному з кожного рядка й кожного стовпця матриці і т.д. Отже, у кожний член визначника повинен увійти множником один елемент з і-ого рядка, тому в нашому випадку всі члени визначника дорівнюють нулю. Що й треба було довести.

Властивість 4.Якщо в визначнику є 2 рівних рядка, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику d рівні між собою і-рядок і j=рядок

 

Нехай d = k

d₁ – визначник d, в якому поміняли і з j рядок.

Тоді за властивістю 2:

d₁=-k

Але насправді нічого не змінилось, оскільки, i та j рядки рівні

d₁=d=k ⟹ -k=k

Звідси, 2k=0, k=0.

Властивість 5.Якщо всі елементи деякого рядка помножити на число r, то визначник зміниться в r разів.

Доведення за схемою властивості 1.

Цю ж властивість можна сформулювати у вигляді: якщо рядок визначника містить постійний множник, то його можна винести за знак визначника.

Розглянемо визначник d:

 

 

Нехай на r помножені всі елементи і-ого рядка. Кожний член визначника містить рівно один елемент із і-ого рядка, тому всілякий член отримує множник r, тобто сам визначник множиться на r.

Властивість 6.Якщо у визначнику є два пропорційні рядки, то визначник = 0.

Доведення проводиться з використанням властивості 5 і властивості 4.

Насправді, нехай елементи j-ого рядка визначника відмінюються від відповідних елементів і-ого рядка одним і тим самим множником r.

 

 

 

Виносячи спільний множник r із j-ого рядка за знак визначника, ми отримуємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю за властивістю 4.

Властивість 4 (а також властивість 3 при ) є, очевидно, окремим випадком властивості 6 (при r = 1 і r = 0).

Властивість 7. Якщо кожний елемент і-рядка визначників є сумою 2-ох доданків, то такий визначник можна подати як суму двох визначників, у яких всі рядки, за винятком і-ого такі ж, як у початковому. і-й рядок першого визначника складається з перших доданків, і-ий рядок другого визначника складається з других доданків.

 

 

 

Доведення за схемою доведення властивості 1.

Дійсно, всілякий член заданого визначника можна подати у вигляді:

 

Збираючи разом перші доданки цих сум (з тими ж знаками, які мали відповідні члени в заданому визначнику) ми отримаємо, очевидно, визначник n-го порядку, що відмінюється від заданого визначника лише тим, що в і-ому рядку замість елементів стоять елементи . Відповідно другі доданки складають визначник, в і-ому рядку якого стоять елементи .

Властивість 8.Якщо до і-ого рядка визначника додати j-ий рядок, в подумках помножений на деяке число, то визначник не зміниться.

Доведення. Нехай до і-го рядка визначника d додається j-ий рядок, помножений на k, тобто в новому визначнику всілякий елемент і-го рядка має вигляд . Тоді на підставі властивості 7 цей визначник дорівнює сумі двох визначників, з яких перший є d, а другий містить пропорційні рядки і тому дорівнює 0.

Властивість 9.Якщо в визначнику присутній рядок, що є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.