И образец выполнения заданий контрольной работы № 1 Матрицы. Операции с матрицами
Краткие теоретические сведения
и образец выполнения заданий
контрольной работы № 1
Матрицы. Операции с матрицами
Матрицей размера m×n называется упорядоченная таблица, составленная из чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Обозначаются матрицы А, В, С и т. д. Элемент матрицы, находящийся в строке с номером i и столбце с номером j, обозначается аij. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Произведением матрицы А на число l называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l:
Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:
Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матрицы Аm×k на матрицу Вk×n называется матрица Сm×n, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень p(p >1): 
Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица, образованная из матрицы А заменой её строк соответствующими столбцами. Транспонированная матрица к матрице А обозначается АТ.
Всякой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие
по определённому закону некоторое число, которое называется определителем того же порядка матрицы A и обозначается ½А½.
Определитель первого порядка равен самому числу.
Определитель второго порядка определяется равенством:
(1)
Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
(2)
Минором элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного определителя путём вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Обозначается минор Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, умноженный на (–1)i+j, т. е. Аij:
Аij = (–1)i+j· Мij,
где Аij — алгебраическое дополнение элемента аij.
Формулу (2) можно записать таким образом:
Единичной называется квадратная матрица порядка n, у которой элементы главной диагонали а11, а22, … , аnn равны 1, а остальные элементы равны 0. Пусть Е — единичная матрица. При умножении матрицы А на Е слева или справа получается матрица А: АЕ = ЕА = А.
Матрица А–1 называется обратной к квадратной матрице А, если выполняются условия: А·А–1 = А–1·А = Е.
Обратная матрица к квадратной матрице А существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю, т. е. 
При этом
(3)
где А* — матрица, в которой каждый элемент матрицы А заменён его алгебраическим дополнением. Такая матрица называется присоединённой
к матрице А.
Пример 1. Дана матрица 
Найти матрицу 
Решение. Определим матрицу С2:
Транспонируем матрицу С: 
и найдём произведение 2СТ: 
Определим С–1 по формуле (3):
Вычислим определитель матрицы С:
Следовательно, С–1 существует. Определим алгебраические дополнения элементов матрицы С и присоединённую матрицу С*:
тогда 
и обратная матрица С–1: 
Проверим правильность нахождения С–1. Для этого перемножим полученную матрицу на данную матрицу С слева и справа и убедимся, что получается единичная матрица:
Матрица С–1 определена правильно.
Найдем произведение матрицы С–1 на 3:
Окончательно получим:
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Минором порядка k матрицы А называется определитель порядка k матрицы, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении произвольных k строк и k столбцов.
Рангом матрица называется число r, такое, что выполняются условия:
1) существует минор порядка r, не равный нулю;
2) все миноры большего порядка, начиная с (r+1), равны нулю.
Ранг матрицы А обозначается r(А). Ранг матрицы — это наибольший порядок её минора, не равного нулю. Этот минор называется базисным.
Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
1) перестановка строк (столбцов) местами;
2) транспонирование;
3) вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю;
4) умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля;
5) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:
(4)
Обозначим матрицу из коэффициентов при неизвестных:
|
,
— столбец свободных членов,
— столбец неизвестных,
— расширенная матрица системы.
Систему уравнений (4) можно записать в матричном виде:
А·Х = В. (4/)
Совокупность чисел d1, d2,…, dn, обращающих все уравнения системы (4) в тождества, называется решением системы.
Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместна, если она не имеет решения.
Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Элементарные преобразования системы уравнений, переводящие
её в равносильную систему:
1) перестановка местами любых двух уравнений;
2) умножение обеих частей любого уравнения на число, отличное
от нуля;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число.
Система уравнений называется неоднородной, если 
и однородной, если В = 0.
Система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений.
Исследование системы уравнений на совместность основано на следующей теореме:
Теорема Кронекера—Капелли. Для того, чтобы система уравнений
с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы,
т. е. r(А) = r(А½В) = r.
При этом:
1) если r = n, система определена;
2) если r<n, система не определена.
Рассмотрим следующие методы решения СЛАУ: метод Крамера, матричный метод, метод Жордана—Гаусса.