Элементы векторной алгебры

Элементы векторной алгебры

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. . Если же… Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или… Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную…

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведениемвекторов и называется число, равное… Свойства скалярного произведения: 1) × = ïï2;2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.3) × =…

Элементы векторной алгебры

Определение. Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) , где j - угол между векторами и , 2)… Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3)… Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0). (ед2).

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

   

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную… Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой… Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в…

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат.

  h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = . //

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

  Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы… .

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие… Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были…

Основные определения.

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =

Основные действия над матрицами.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.   Определение. Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Операция умножения матриц.

А×Е = Е×А = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулеваяматрица. 2)…

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС. 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB). 5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство: (АВ)^Т = В^ТА^Т, где индексом Т обозначается транспонированная матрица. 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. А = ; В = А^Т=; другими словами, b_ji = a_ij. В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)^T = C^TB^TA^T, при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС. A^T = ; A^TB = × = = ; aC = ; А^ТВ+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = . АВ = × = . ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В = АВ = ×= Определители ( детерминанты).

Определение. Определителемквадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: det A = , где (1) М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: det A = (2) Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: detA = , i = 1,2,…,n. (3) Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T;

Свойство 2. det ( A ± B) = det A ± det B.

Свойство 3. det (AB) = detA×detB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ± d₂ , e = e₁ ± e₂ , f = f₁ ± f₂ , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А = = -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB). 1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26. 2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 – – 152 = -26.

= .

Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц: 1) (A^-1)^-1 = A; 2) (AB)^-1 = B^-1A^-1 3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить програрамму, которая находит обратную матрицу и подробно описывает весь ход решения для матрицы размера 3х3. Пример. Дана матрица А = , найти А³. А² = АА = = ; A³ = = . Отметим, что матрицы и являются перестановочными. Пример. Вычислить определитель . = -1 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10. = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2. = = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10. Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангомматрицы и обозначается Rg А. Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы. Пример. Определить ранг матрицы. ~ ~, RgA = 2. Пример: Определить ранг матрицы. ~ ~ ~, Rg = 2. Пример. Определить ранг матрицы. ~, Þ Rg = 2. Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре. Теорема.В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений: Составим матрицы: A = ; B = ; X = . Систему уравнений можно записать: A×X = B. Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B, т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В Х = А^-1×В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений: Х = , B = , A = Найдем обратную матрицу А^-1. D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30. M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1; M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ = M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ = A^-1 = ; Cделаем проверку: A×A^-1 = =E. Находим матрицу Х. Х = = А^-1В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x_i = D_i/D, где D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i. D_i =

 

Пример. A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ; x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

 

Пример. Найти решение системы уравнений: D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = D₁/D = 1; D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x₂ = D₂/D = 2; D₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x₃ = D₃/D = 3. Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом. Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0. При D = 0 система имеет бесконечное множество решений. Для самостоятельного решения: ; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений: Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем: 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим: , где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1. d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. А* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

 

Пример. Решить систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом. Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4}.

 

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

 

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

 

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х<M.

 

Основные теоремы о пределах.

 

Теорема 1. , где С = const.

 

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

 

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

//

Теорема 3.

Следствие.

 

Теорема 4. при

 

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

 

Определение. Функция f(x) называется ограниченнойвблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

 

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М = e + ïАï

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

// Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

 

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

ïf(x)ï>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < ïx - aï < D

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

    Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Функция f(x) = ex.

 

Находим: f(x) = e^x, f(0) = 1

f¢(x) = e^x, f¢(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

[an error occurred while processing this directive]

Тогда:

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

 

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 

 

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

Функция f(x) = sinx.

Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

…………………………………………

f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + pn/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin(pn/2);

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

 

Итого:

 

 

Функция f(x) = cosx.

 

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

Функция f(x) = (1 + x)a.

[an error occurred while processing this directive]

(a - действительное число)

 

…………………………………………………..

 

Тогда:

 

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, то R_n+1 = 0, тогда

 

 

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

 

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

 

 

Рис. 1. Два члена разложения

 

 

 

Рис. 2. Четыре члена разложения

 

 

 

 

Рис. 3. Шесть членов разложения

 

 

Рис. 4. Десять членов разложения

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

 

Для примера вычислим значение sin20⁰.

Предварительно переведем угол 20⁰ в радианы: 20⁰ = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.

 

Пример: Вычислить sin28⁰13¢15¢¢.

[an error occurred while processing this directive]

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

 

1⁰ = ; 28⁰;

1¢; ;

; ;

 

рад

 

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx = .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

 

sin= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция f(x) = ln(1 + x).

Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ;

………………………………………

 

Итого:

 

 

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.