рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Элементы векторной алгебры

Элементы векторной алгебры - раздел Математика, Элементы векторной алгебры Линейная Зависимость Векторов. Определение....

Линейная зависимость векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. . Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми. Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: линейно независимы. Тогда . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. D1 = ; D2 = D3 = Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то . Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как: В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Линейные операции над векторамив координатах.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы векторной алгебры

Определение Матрицей размера m acute n где m число строк n число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке Эти.. А В С АВ АС.. А В С АС ВС Если произведение АВ определено то для любого числа a верно соотношение a AB aA B..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Элементы векторной алгебры

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда Скалярное произведение векторов.

Элементы векторной алгебры
Векторное произведение векторов. Определение. Векторным произведениемвекторов

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскост

Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сфер

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат.
Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной сист

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.   Для того, чтобы плоскости были п

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
// Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Определение. Если число столбцов

Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C;

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то п

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги