Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена

Лекции по ГА 1 семестр (спец. Пи)

Числа.

Натуральные числа

1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количеством… 1. (a+b)+c=a+(b+c) - ассоциативность 2. a+b=b+a – коммутативность

Метод математической индукции.

Тот факт, что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве математических утверждений. Допустим, у нас имеется серия утверждений, пронумерованных натуральными числами A₁,…,A_n… , и установлена истинность утверждения A₁ (основание мат. индукции), а так же показана справедливость посылки A_n-1®A_n в предположении истинности утверждений A₁,…,A_n-1 для любого натурального числа n. Выполнение этих условий гарантирует истинность всех утверждений A₁,…,A_n . Для примера покажем справедливость формулы .

При n=1 формула принимает вид , верно. Пусть формула верна для n-1. Покажем её справедливость для n. Следующий пример связан с биномом Ньютона.

Бином Ньютона, треугольник Паскаля

· 1, если m=0, или m=n, · сумме элементов предыдущей строки, расположенных в столбцах m и m-1, если… Таким образом, элементы треугольника Паскаля суть биномиальные коэффициенты. В частности .

Целые числа

Решение уравнений вида a+x=b приводит к получению целых чисел Z. При этом следует отметить, что уравнение a+c+x=b+c имеет то же самое решение. На множество целых чисел естественным образом переносятся операции + и *, обладающими теми же самыми свойствами.

Рациональные числа

Решение уравнений вида a*x=b (a¹0) приводит к получению рациональных чисел Q. Уравнение a*c*x=b*c имеет то же самое решение. На множество рациональных чисел естественным образом переносятся операции + и *.

Числовые кольца, поля

Любое числовое кольцо содержит 0. Множество чётных чисел - кольцо без 1 Числовое кольцо, в котором разрешимо уравнение ax=b () называется числовым полем.

Вещественные числа

Вещественным числом называется бесконечная десятичная дробь. Множество вещественных чисел является полем

Поле комплексных чисел

Множество комплексных чисел образует поле комплексных чисел. Представление комплексного числа в виде называется его алгебраической формой.…

Комплексная плоскость.

Теорема 1.3 Пусть и , тогда и . Доказательство теоремы вытекает из тригонометрических тождеств и правил… Из данной теоремы вытекает

Извлечение корней, корни из единицы

Отсюда вытекает, что формула Муавра-Лапласа обобщается и на случай рациональных степеней. Следует иметь в виду, что она даёт одно из возможных… Особый интерес представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить,… Теорема 1.5 (о первообразных) Корень из 1 вида является первообразным тогда и только тогда, когда наибольший общий…

Вычисление формул специального вида

Введём комплексное число . Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства и , сложив их, получим . Из последнего равенства выводим , и далее по биному… 1.7.3.2 Вычисление формул вида Введём комплексное число . Как и выше, выводим . Подставим в сумму . Для выполнения операции деления представим 1-z в…

Многочлены

Определение 2.1Многочленом (полиномом) называется функция вида .

Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M(x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.

Операции над многочленами.

С многочленами над числовым кольцом можно проводить операции сложения, вычитания и умножения. Данные операции разобраны в школьном курсе математики. Ясно, что в результате получится многочлен с коэффициентами из этого же кольца. Интересна связь коэффициентов произведения многочленов с коэффициентами сомножителей. Пусть в результате перемножения многочленов и получается многочлен . Тогда , в правой части равенства предполагается, что при и при .

Над многочленами над числовым полем кроме перечисленных операций определена операция деления с остатком.

Теорема 2.1 (Деление многочленов)

При делении многочленов над некоторым полем частное и остаток определены единственным образом.

Доказательство очевидно.

Для деления на двучлен x-a разработана компактная схема деления, которая называется схемой Горнера. Данная схема применяется и для вычислений значения многочлена в точке.

Теорема 2.2 (Безу)

Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x-a равен f(a).

Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.

Для пары многочленов f(x) и g(x) под общим делителем будем понимать многочлен, который делит f(x) и g(x) без остатка. Общий делитель определён с… Общий делитель пары многочленов f(x) и g(x) наибольшей степени называется… Многочлен наименьшей степени, делящийся на f(x) и g(x) называется их наименьшим общим кратным и обозначается…

Разложение рациональных функций в сумму дробей.

Функция вида , где и многочлены, называется рациональной. Пусть представляется в виде произведения взаимно простых многочленов . Найдём многочленыи , что . Умножим равенство на рациональную функцию , и сократим дроби. В результате получим равенство . При необходимости указанные преобразования можно повторить несколько раз.

Неприводимый многочлен, его свойства

Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда I. Из вытекает, либо , либо . II. Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.

Корень многочлена.

Все многочлены первой степени неприводимы над любым числовым полем.

Число a называется корнем многочлена, если f(a)=0.

Следствие 2.1 Многочлен степени n имеет не более n корней.

Интерполяционный многочлен

2.6.1 Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа Пусть требуется построить многочлен, который в точках a1,…,an (n>1)… Теорема 2.9 (Интерполяционный многочлен Лагранжа)

Свойство 1

Доказательство проведём индукцией по порядку разности. При k=1 имеем . Основание индукции положено. Пусть утверждение верно для всех разностей порядка k-1. Покажем его справедливость для всех разностей порядка k. По определению . Подставим вместо разностей k-1 порядка их выражения, получим После приведения подобных в правой части равенства получим требуемое утверждение.

Свойство 2

Разность не зависит от порядка, в котором расположены ее аргументы

Доказательство вытекает из свойства 1.

Свойство 3

Доказательство проведём индукцией по k. При k=1 имеем . Числителем дроби является многочлен , причём . Следовательно, по теореме Безу многочлен…

Свойство 4

f(x)=f(a₁)+(x-a₁)f(a₁,a₂)+…+(x-a₁)…(x-a_k-1)f(a₁,….a_k)+ +(x-a₁)…(x-a_k)f(x,a₁,….a_k)

Доказательство. Из определения разности порядка k выразим разность меньшего порядка . Продолжив этот процесс получим искомую формулу.

Разложение многочлена над полем рациональных чисел

Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Многочлен с рациональными коэффициентами единственным образом представляется в… Теорема 2.10 Произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен.

Присоединение корня. Поле разложения многочлена.

Теорема 2.12 Множество является числовым полем. Доказательство. Замкнутость относительно сложения, вычитания, умножения… В качестве можно брать любой корень многочлена f(x). В результате будут получаться различные поля .

Формальная производная, ее свойства

Теорема 2.14 (Свойства производной) 1. 2.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра

Теорема 2.16 (Интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра) Существует единственный многочлен h(x) степени меньше , удовлетворяющий… Доказательство. Положим , . Для i=1,…,k определим числа и далее по индукции , где . Многочлен удовлетворяет…

Формулы Виета

Теорема 2.17 (Формулы Виета) Пусть многочлен имеет корни . Тогда .

Симметрические полиномы

Многочлен от n переменных может содержать несколько мономов максимальной степени. Моном максимальной степени назовём старшим, если набор его… Лемма 2.2 v(fg)=v(f)+v(g), Доказательство вытекает из определения.

Основная теорема Алгебры

Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент многочлена равным 1. Пусть , и . Тогда справедливы неравенства и . На концах… Лемма 2.6. Многочлен второй степени с комплексными коэффициентами имеет… Доказательство очевидно.

Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел

Рассмотрим многочлен с вещественными коэффициентами . Над полем комплексных чисел он раскладывается на линейные множители. Если a его комплексный корень, то , т.е. то же корень f(x). Таким образом, многочлен f(x) делится на трёхчлен с вещественными коэффициентами. Тем самым устанолена

Теорема 2.20. Над полем вещественных чисел многочлен раскладывается в произведение неприводимых многочленов степени 1 и 2. Разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Теорема Штурма

Определение 2.7Последовательность многочленов назовём последовательностью многочленов Штурма, если она удовлетворяет следующим условиям:

I. Любые два соседних многочлена не имеют общих корней

II. Если a – корень при i>0, то

III. Последний многочлен не имеет вещественных корней.

Для последовательности многочленов F и числа a определим w(a) – число перемен знака в числовой последовательности (нули игнорируем). Теорема 2.21 Штурма Число различных корней многочлена на отрезке равно .

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Запишем таблицу чисел, образованную коэффициентами при неизвестных . В алгебре принято называть прямоугольную таблицу чисел матрицей. Припишем к…

Равносильные преобразования

Теорема 3.1 Следующие преобразования матрицы являются равносильными: I. Умножение строки не ненулевое число. II. Перестановка строк

Метод Гаусса.

Теорема 3.2 Равносильными преобразованиями, указанными выше (Теорема 3.1) расширенную матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство. Приведём алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду…..

После того как матрица приведена к ступенчатому виду легко построить решение системы линейных уравнений, либо доказать его отсутствие. Если матрица имеет строку, у которой только один ненулевой элемент, расположенный в последнем столбце, то решений нет. В противном случае решение есть и легко строиться.

Подстановки

Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом стоит его образ. Например, подстановка 3 порядка переводит 1 в 3, 2 в 1 и 3 в… Лемма 4.1. Число подстановок n-го порядка равно n!. Доказательство очевидно.

Четность подстановок

Определение 4.4. Подстановка f называется четной, если она не меняет знак дискриминанта ( то есть ), и нечетной в противном случае. Свойство 4.4. Четность произведения подстановок зависит от четности… Выполнение подстановки сводится к последовательному выполнению подстановок сомножителей. Следовательно, знак…

Определитель

Определение 5.1. Пусть A – квадратная матрица порядка n с элементами . Определителем матрицы A называется сумма по всем подстановкам . Определитель (детерминант) матрицы обозначается или det(A).

В частности определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле , а определитель третьего порядка равен . Вычисление определителей больших порядков исходя из определения не целесообразно.

Свойства определителя

Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через . Свойство 5.1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании. Доказательство. . Упорядочив сомножители в каждом слагаемом по возрастанию номеров строк, получим , где g обратная…

Вычисление определителей произвольных порядков

Преобразованиями, описанными в разделе 5.1, приводим определитель к треугольному виду. Далее, определитель равен произведению диагональных элементов.

Приведём пример вычисления определителя матрицы . Вычтем из каждой строки предыдущую (начиная с последней строки). В результате получим треугольную матрицу, по диагонали которой стоят 1. Определитель равен 1.

Определитель Вандермонда

Теорема Лапласа

Лемма 5.1 Справедливо равенство . Доказательство. Выразим правую часть равенства через элементы исходной… Первая сумма состоит из слагаемых, вторая сумма – из k! слагаемых и третья сумма – (n-k)! слагаемых. Следовательно,…

Умножение матриц

Определение 5.3. Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*k. Произведением матриц A*B называется матрица C размерами m*k, элементы которой находятся по формулам . Другими словами, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен произведению i-ой строки A на j-ый столбец B.

Свойство 5.7 Пусть A*B=C. Строка i матрицы C является комбинацией строк матрицы B, причём коэффициенты берутся из i строки матрицы A. Столбец j матрицы C является комбинацией столбцов матрицы A, причём коэффициенты берутся из j столбца матрицы B.

Свойство 5.8. Произведение матриц не коммутативно.

Свойство 5.9. Произведение матриц ассоциативно.

Формула Бине-Кощи

Доказательство. Пусть C=AB. По определению определителя . Выразим элементы C через элементы A и B, получим . Перемножим все суммы придем к выражению… Следствие 5.4. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель…

Операции с матрицами

Обратная матрица

Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образом, единичная матрица играет роль 1 среди матриц. Определение 6.1. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E.… Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Правило Крамера

Теорема 6.2 (Правило Крамера). Квадратная система уравнений с невырожденной матрицей имеет единственное решение, компоненты которого находятся по…

Матрица элементарных преобразований

1. Подстановка строк i и j эквивалентна умножению слева на матрицу, которая получается из единичной матрицы подстановкой i и j строк. 2. Умножение строки i на число a эквивалентно умножению слева на матрицу,… 3. Прибавление к i-ой строке j-ой, умноженной на число a равно сильно умножению слева матрицу, отличающейся от…

Построение обратной матрицы

Совершенно аналогично, если припишем единичную матрицу снизу к матрице A, а затем элементарными преобразованиями столбцов добьемся чтобы на месте…

Блочные матрицы

Теорема 6.3. Умножение блочных матриц. Пусть матрицаAимеет блочное строение , а матрицаBимеет блочное строение ,… Доказательство. Элемент блочной матрицы A, расположенный в блоке на пересечении строки r и столбца s обозначим через .…

Линейные пространства.

1. сложения элементов из V (+) 2. умножения элемента из V на элемент из P (*) Эти операции удовлетворяют аксиомам:

Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.

Следствие 7.4 Если система содержит нулевой вектор, то она линейно зависима. Следствие 7.5 Если система содержит линейно зависимую подсистему векторов, то… Определение 7.5 Будем говорить, что вектор b линейно выражается через систему векторов , если найдутся числа , что . …

Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.

Теорема 7.3. Подпространство конечномерного пространства – конечномерно. Доказательство. Пусть V – конечномерное пространство, W – его подпространство.… Пусть V конечномерное пространство.

Прямая сумма подпространств. Проекция.

Теорема 7.7. Пусть . Тогда любой вектор из V единственным образом представляется в виде суммы векторов из подпространств и , x=y+z. Вектор y… Доказательство. Допустим, найдётся вектор , который раскладывается в сумму… Следствие 7.9. Если сумма прямая, то и базис получается объединением базисов V и W.

Изменение координат вектора при изменении базиса.

Обозначим через матрицу перехода от базиса e к базису f. Равенство справедливо для всех векторов x. Следовательно, , или . В качестве следствия из… Рассмотрим систему векторов из арифметического пространства . Матрицу,… Теорема 7.8 Критерий линейной независимости системы векторов.

Изоморфизм линейных пространств.

Для доказательства изоморфизма линейных пространств V и W требуется построить взаимно однозначное отображение , обладающее свойствами сохранения… 1. , 2. ,

Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.

Опишем множество точек, лежащих на прямой l, проходящей через точки A, B. Если , то векторы и коллинеарные, т.е отличаются числовым множителем. Пусть . Выразим отсюда x: . Данное уравнение называется параметрическим уравнением прямой. Вектор A-B принадлежит прямой и называется направляющим вектором прямой.

В зависимости от параметра получаем различные точки прямой. Если , то получим точку X из отрезка , причём . Если , то получаем точку X, что отрезок содержит точку A, причём . Если , то получаем точку X, что отрезок содержит точку B, причём .

Пусть A,B,C три точки не лежащие на одной прямой. Опишем множество точек плоскости , проходящей через эти три точки. Точка x лежит на плоскости тогда и только тогда, когда вектор x-A является линейной комбинацией векторов B-A и C-A. Следовательно, параметрическое уравнение плоскости имеет вид . Векторы B-A и C-A называются направляющими векторами плоскости.

В зависимости от значений параметров

получаются точки из разных областей. На рисунке приведено разбиение на области и указаны значения параметров.

Пусть система векторов - линейно не зависима. Множество точек вида называется линейным многообразием.

Для иллюстрации приведённой теории решим следующую задачу:

Доказать, что в произвольном тетраэдре, все отрезки соединяющие вершины с точкой пересечения медиан треугольника, образованного вершинами противоположной грани, пересекаются в одной точке и найти отношение, в котором делит эти отрезки точка пересечения.

В начале решим вспомогательную задачу: выразить точку пересечения медиан треугольника через его вершины. Обозначим вершины треугольника через A,B,C. Векторы AB и AC выберем в качестве базиса. Тогда, точки имеют координаты A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1). Обозначим середину отрезка [BC] через F. Точка F имеет координаты (1/2,1/2). Отрезок [AF] делится точкой пересечения медиан O в соотношении 2:1, следовательно, O=(1/3,1/3). Таким образом, . Рассматривая плоскость как линейное многообразие, получаем . Обозначим через ABCD вершины тетраэдра. В качестве базиса выберем векторы AB, AC, AD. Тогда A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). Точку пересечения медиан треугольника BCD обозначим через F, треугольника ACD – через G. Координаты этих точек равны F=(1/3,1/3,1/3), G=(0,1/3,1/3). Параметрическое уравнение прямой AF имеет вид x=a(1/3,1/3,1/3), а прямой BG x=(1,0,0)+b(-1,1/3,1/3). Точка пересечения H этих прямых находится из системы уравнений a(1/3,1/3,1/3)=(1,0,0)+b(-1,1/3,1/3) и H=(1/4,1/4,1/4) (получается при a=b=3/4). Отрезки AF и BG в точке пересечения делятся в отношении 3:1. Выбирая в качестве B любую вершину тетраэдра (отличную от A) получим, что все отрезки соединяющие вершины с точкой пересечения медиан треугольника, образованного вершинами противоположной грани, пересекаются в одной точке H и делятся в отношении 3:1.