Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Рассматриваются Многочлены Над Числовым Полем. Говорят, Что Многочлен F...
Рассматриваются многочлены над числовым полем. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если остаток от деления равен нолю.
Для пары многочленов f(x) и g(x) под общим делителем будем понимать многочлен, который делит f(x) и g(x) без остатка. Общий делитель определён с точностью до числового множителя.
Общий делитель пары многочленов f(x) и g(x) наибольшей степени называется наибольшим общим делителем, и обозначается НОД(f(x),g(x)).
Многочлен наименьшей степени, делящийся на f(x) и g(x) называется их наименьшим общим кратным и обозначается НОК(f(x),g(x)).
Теорема 2.3 Если многочлен делится на многочлены f(x) и g(x), то он делится и на их наименьшее общее кратное.
Доказательство Пусть , а - многочлен, делящийся на f(x) и g(x). Поделим на с остатком , здесь - частное, а - остаток. Выразим . По условиям, правая часть равенства делится без остатка на f(x) и g(x). Таким образом, делится на f(x) и g(x) и имеет степень меньше , что возможно только если
Теорема 2.4 Наибольший общий делитель пары многочленов f(x) и g(x) делится без остатка на любой их общий делитель.
Для доказательства достаточно заметить, что наибольший общий делитель является наименьшим общим кратным общих делителей этих многочленов.
Доказательство. Положим и . Поскольку делится на , то делится без остатка на . Аналогично, из равенства вытекает делимость на , а, значит и делимость на . Таким образом многочлены и отличаются только числовым множителем.
Из теоремы вытекает алгоритм Евклида, если в качестве v(x) выбирать частное от деления f(x) на g(x).
Теорема 2.6 Для произвольных многочленов f(x) и g(x) найдутся такие многочлены v(x) и w(x), степень которых не превосходит степени f(x) и g(x), соответственно, что f(x)w(x)+v(x)g(x)=НОД(f(x),g(x)).
Теорема вытекает очевидным образом из алгоритма Евклида.
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...
Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало
Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.
2.6.1 Интерполяционный многочлен в
Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n
Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства
Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве
Симметрические полиномы
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем п
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде
Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура
Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя.
Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом
Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный
Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где
Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен
Линейные пространства.
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции
1. сложения элементов из V (+)
2. умножени
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
2. Строчечный ранг - ранг системы строк.
3. Минорный ранг - Порядок наибольшего
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы
Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
, а 
- многочлен, делящийся на f(x) и g(x). Поделим 
с остатком 
, здесь 
- частное, а 
- остаток. Выразим 
. По условиям, правая часть равенства делится без остатка на f(x) и g(x). Таким образом, 
и 
. Поскольку 
делится на 
вытекает делимость 
на 
Новости и инфо для студентов