Двойственное пространство - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Пусть V – Линейное Пространство Над Полем P. Линейной Формой (Функцией) Над V...
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Свойство 7.3 Линейная форма определена своими значениями на базисных векторах.
Доказательство. Пусть базис V. Вектор x из V разложим по базису . Тогда .
На множестве линейных форм определим операции сложения и умножения на скаляр .
Свойство 7.4 Множество линейных форм образует линейное пространство
Доказательство. Проверим все аксиомы векторного пространства.
Определение 7.14 Пространство линейных форм называется двойственным к исходному пространству.
Свойство 7.5 Двойственное пространство изоморфно исходному.
Доказательство. Для доказательства достаточно показать совпадение размерностей исходного и двойственного пространств. Пусть базис V. Определим линейные формы . Эти линейные формы линейно независимы, и через них выражается любая другая линейная форма. Таким образом, эти линейные формы образуют базис двойственного пространства, и размерность двойственного пространства совпадает с размерностью исходного пространства.
Элементы двойственного пространства называются ковекторами.
Подпространству W линейного пространства V поставим в соответствие подпространство двойственного пространства, состоящее из линейных форм, обращающихся в ноль на всех векторах из W. Отметим некоторые свойства этого соответствия.
Свойство 7.6. Справедливы равенства
1.
2.
3.
4.
Доказательство. Поскольку только нулевая форма обращается в ноль на всех векторах из V, то первое равенство установлено.
Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U+W, а, значит, и . Тем самым установлено включение . Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U и W, а, значит, она равна 0 на всех векторах из U+W, то есть . Таким образом, получено включение . Объединив включение получим второе равенство.
Третье равенство доказывается аналогично второму равенству.
Пусть базис W, дополним его до базиса всего пространства векторами . Определим линейные формы , где j=1,…,n. Линейные формы образуют базис двойственного пространства и принадлежат . Покажем, что базис . Возьмём произвольную линейную форму f из и разложим её по базису . Тогда , и, значит, . Тем самым четвёртое равенство доказано.
Из четвёртого свойства вытекает, что размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений равна разности размерности всего пространства и (строчечного) ранга матрицы.
Вектор из пространства V можно рассматривать как линейную форму в двойственном пространстве. Действительно, и . Следовательно, подпространству F двойственного пространства к V можно поставить в соответствие подпространство пространства V, образованное векторами из V, обращающими в 0 все линейные формы из F.
Свойство 7.7 Пусть - подпространство конечномерного линейного пространства . Тогда.
Доказательство. Пусть , тогда для всех линейных форм из , а, значит, . Тем самым установлено включение . Далее, , следовательно, .
Следствие 7.12 Любое подпространство арифметического пространства можно задать системой линейных уравнений.
Доказательство. Очевидным образом следует из равенства .
Рассмотрим задачу построения системы однородных линейных уравнений задающих линейную оболочку системы векторов (для определённости будем считать эту систему векторов линейно независимой а исходное пространство арифметическим). Следуя проведённым теоретическим построениям, мы должны поступать следующим образом. Дополним систему векторов до базиса всего пространства векторами . Далее, найдём обратную матрицу к матрице A, составленную из векторов . Последние n-k строк матрицы будут определять требуемую систему. Однако, можно уменьшить объём вычислений. Действительно, базис подпространства определяется как базис пространства решений однородной системы линейных уравнений .
Следствие 7.13 Любое линейное многообразие можно задать системой неоднородных уравнений.
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Двойственное пространство
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало
Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.
2.6.1 Интерполяционный многочлен в
Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n
Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства
Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве
Симметрические полиномы
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем п
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде
Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура
Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя.
Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом
Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный
Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где
Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен
Линейные пространства.
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции
1. сложения элементов из V (+)
2. умножени
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
2. Строчечный ранг - ранг системы строк.
3. Минорный ранг - Порядок наибольшего
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
базис V. Вектор x из V разложим по базису 
. Тогда 
.
и умножения на скаляр 
.
. Эти линейные формы линейно независимы, и через них выражается любая другая линейная форма. Таким образом, эти линейные формы образуют базис двойственного пространства, и размерность двойственного пространства совпадает с размерностью исходного пространства.
двойственного пространства, состоящее из линейных форм, обращающихся в ноль на всех векторах из W. Отметим некоторые свойства этого соответствия.
, тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U+W, а, значит, 
и 
. Тем самым установлено включение 
. Пусть 
, тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U и W, а, значит, она равна 0 на всех векторах из U+W, то есть 
. Объединив включение получим второе равенство.
базис W, дополним его до базиса всего пространства векторами 
. Определим линейные формы 
, где j=1,…,n. Линейные формы 
образуют базис двойственного пространства и 
принадлежат 
. Тогда 
, и, значит, 
. Тем самым четвёртое равенство доказано.
пространства V, образованное векторами из V, обращающими в 0 все линейные формы из F.
- подпространство конечномерного линейного пространства 
. Тогда
.
, тогда 
для всех линейных форм из 
. Тем самым установлено включение 
. Далее, 
, следовательно, 
(для определённости будем считать эту систему векторов линейно независимой а исходное пространство арифметическим). Следуя проведённым теоретическим построениям, мы должны поступать следующим образом. Дополним систему векторов 
до базиса всего пространства векторами 
. Далее, найдём обратную матрицу к матрице A, составленную из векторов 
. Последние n-k строк матрицы 
будут определять требуемую систему. Однако, можно уменьшить объём вычислений. Действительно, базис подпространства 
определяется как базис пространства решений однородной системы линейных уравнений 
.
Новости и инфо для студентов