ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Алтайский государственный технический
университет им. И.И. Ползунова
В.Г. БУСЫГИН
МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Учебное пособие по курсу
«Строительная механика»
УДК 624.04 (075.8)
Бусыгин В.Г. Матричные методы расчета шарнирно-стержневых систем: Учебное пособие по курсу "Строительная…
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в связи широким применением ЭВМ в расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций наметилась устойчивая тенденция к использованию общих алгоритмов строительной механики. Основная особенность общих алгоритмов заключается в унификации расчетов систем качественно различного вида. Например, расчет произвольных стержневых систем, а также пластин, оболочек, комбинированных конструкций можно в принципе выполнить по единой схеме, если рассматриваемую систему определенным образом свести к системе с конечным числом степеней свободы.
Процесс сведения упругой системы, имеющей бесконечно большое число степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы называется дискретизацией системы, а сама система, полученная в результате дискретизации, называется дискретной моделью системы.
Для описания дискретных моделей и алгоритмов расчета наиболее удобен аппарат матричной алгебры. Он позволяет представить уравнения в компактном виде, удобен для теоретических выкладок и программирования на ЭВМ.
Общие алгоритмы расчета стержневых систем рассмотрены на примере систем простейшего класса – шарнирно-стержневых систем, в которых все стержни соединяются между собой и с основанием идеальными шарнирами. Такие системы в классическом курсе строительной механики называются фермами. Обобщения изложенных алгоритмов на системы других классов не изменяют качественно структуры уравнений.
Дискретизация системы состоит в том, что неизвестные параметры, определяющие напряженно-деформированное состояние системы (усилия и перемещения),… Примем в качестве неизвестных параметров перемещения узлов и продольные усилия… Расчленим ферму на отдельные узлы и элементы (стержни). Для расчлененной системы можно составить следующие…
В целях экономии места вектор-столбец будем записывать в виде строки, заключенной в квадратные скобки.
Обозначим продольную силу в стержне буквой N с индексом, равным номеру… В качестве степеней свободы системы принимаем горизонтальные и вертикальные перемещения узлов, допускаемые связями.…
Рассмотрим некоторый элемент с узлами i, j . Пусть i < j. Назовем узел i начальным, узел j – конечным. Направим ось вдоль оси стержня от узла i к… Sх = N×cos a+ Pix = 0,
Sy = N×sin a+ Piy = 0.
Матрица А уравнения равновесия узлов фермы имеет n строк и m столбцов, причем n = 2У - Соп, m = С, где У – количество узлов фермы (шарниров), Соп –… В зависимости от структуры фермы возможны следующие соотношения между… 1) Равенство n = m дает квадратную невырожденную матрицу А. Уравнение равновесия (1) в этом случае имеет единственное…
В качестве примера рассмотрим простейшую стержневую систему, нагруженную силами в узле 2 (рис. 4,а), уравнения равновесия которого имеют вид
0,5N1 = P,
0,866N1 + N2 = 2P.
Физические уравнения для шарнирно-стержневой системы устанавливают взаимосвязь между удлинениями стержней и внутренними усилиями. Для линейно… , (5)
где константу k можно назвать коэффициентом жесткости стержня.