Момент импульса.

 

Закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени, равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.

r r

Mt = Iw_n - Iw₀

 

где t – промежуток времени, в течении которого угловая скорость менялась от w₀ до w_n ; I – момент инерции тела;

 

Mt – импульс момента силы (аналогичен Ft – импульсу силы); Iw - момент импульса тела (аналогичен p = mv – импульсу тела).

 

Закон сохранения момента импульса: в изолированной системе сумма моментов импульсов всех тел – величина постоянная.

 

I₁w₁ + ... + I_iw_i + ... + I_nw _n = const Þ Iw = const

 

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

 

W= ¹₂ I_z w²

4.1.18. Колебательное движение

 

Колебательным движением называется процесс, при котором система многократно отклоняясь от положения равновесия, возвращается к нему.

 

Параметры механических колебаний:

Амплитуда – максимальное отклонение системы от положения равно-весия.

 

Период – время, за которое совершается одно полное колебание. Частота периодических колебаний n - число полных колебаний, совер-

шаемых за единицу времени:	n =	1 [Гц]
	T

Гармоническими называются колебания, при котором изменение ко-леблющейся величины со временем происходит по закону синуса или коси-нуса.

Уравнение гармонических колебаний:

æ 2p	ö
x = Asin f = A sin(wt) = A sinç		t ÷	= A sin(2pnt)
T
è	ø

Фаза колебаний – аргумент тригонометрических функции в уравнении гармонических колебаний, показывающий положение колеблющейся точки в любой момент времени.

 

_{Скорость колебаний:} v = ^dx_dt = wA cos(wt) = wA sin(wt + p/2) = v₀ cos(wt)

^{Ускорение колебаний:} a = ^dv_dt = -w ² A sin(wt) = w ² A sin(wt + p ) = -a_o sin(wt)

 

4.1.19. Энергия колебательного движения

Кинетическая энергия:

mv 2

m æ

p

ö

mw 2 A2

Wk

=

=

çwA sin(wt +

)÷

=

cos

(wt)

2 è

ø

Потенциальная энергия:

Wп =

kx 2

=

k

A2 sin 2 (wt) =

mw 2 A2

sin 2 (wt)

Полная механическая энергия колеблющейся системы:

W = W

+ W

=

mw 2

A2

(wt) + sin

(wt)) =

mw 2 A2

k

п

(cos

где m - масса тела, А – амплитуда колебаний, ω - угловая частота.

 

4.1.20. Затухающие и вынужденные колебания

 

Затухающие колебания – колебания, которые прекращаются при пере-ходе всей энергии системы в теплоту из-за трения.

 

Уравнение затухающих колебаний:

 

x = Ae^-bt cos(wt +a )

где w = w₀² - b ²- частота, с которой колеблется система с учетом трения, b - коэффициент затухания.

Период затухающих колебаний:

T = ^2p

w₀² - b ²

 

Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы на-зывается вынуждающей силой, а колебания вынужденными.

 

Амплитуда вынужденных колебаний:

А =	F0
(w02 -w 2 )

где F₀ – вынуждающая сила, w - частота вынужденных колебаний, w₀ – часто-та собственных колебаний.

 

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных ко-лебаний в результате близких значений частоты вынужденных колебаний и частоты собственных колебаний системы.

 

w₀² - w ² ® 0 Þ А → ∞

 

4.1.21. Маятники

 

Пружинный маятник - материальная точка, колеблющаяся на пружине: Период колебаний:

T =	2p	= 2p		m
w	k

 

где m – масса маятника, k – коэффициент жесткости пружины, ω – циклическая частота.

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на беско-нечно длинной, невесомой и недеформированной нити, колеблющаяся под

действием силы тяжести.		2p
Период колебаний:	T =	= 2p	l
	w	g

где l - длина нити; g - ускорение свободного падения.

 

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колеба-ния под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси.

 

Период колебаний:

 

T =	2p	= 2p		I
w	mga

где I - момент инерции; a - расстояние от центра масс маятника до оси коле-баний.

 

4.1.22. Упругие волны

 

Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной.

Уравнение плоской волны:

æ	2pyT ö	æ	2p	ö	r
x = A sin çwt -		÷	= A sin çwt -		y ÷	= A sin (wt - ky)
Tl	l
è	ø	è	ø

где ω - циклическая частота, Т – период, y - координата точки, l - длина волны, _k^r ₌ ²_l^p - волновой вектор.

Длина волны – расстояние между ближайшими точками, колеблющи-мися в одной фазе.

 

4.1.23.Скорость и энергия волны

 

Скорость распространения волны :

dx

æ

2p

ö

v =

= A cosçwt -

y ÷

dt

l

Кинетическая энергия:

è

ø

mv 2

é

æ

2p

ö ù2

2 æ

2p

ö

Wk =

=

m

êwA cosçwt -

y ÷ú

=

rVw

A

cos

çwt -

y ÷

l

l

где m = rV, r

ë

è

ø û

è

ø

- плотность среды, V – ее объем.

Потенциальная энергия:

kx2

æ

2p

ö

æ

2p

ö

Wп =

=

kA

sin

çwt

-

y ÷

=

w

A

rV sin

çwt -

y ÷

l

l

è

ø

è

ø

 

где k = w²x – коэффициент упругости среды.

 

Полная энергия волны

 

W = W_k + W_п = ¹₂ w ² A² rV

4.1.24. Интерференция волн

 

Интерференция – явление сложения когерентных волн (волн с одина-ковой частотой и постоянной во времени и пространстве разностью фаз ), в результате которого наблюдается перераспределение плотности потока энер-гии или интенсивности волны (наблюдение максимумов и минимумов интен-сивности).

Условие максимума:

	,	l
где n = 0,1,2,3…	Dy = 2n
Условие минимума:			1) l
	Dy = (2n +

где ∆у - разность хода интерферирующих волн, λ – длина волны.

 

4.1.25. Стоячие волны

 

Стоячая волна - результат наложения двух встречных волн с одинако-выми амплитудами и частотами (периодами).

 

В случае сложения двух когерентных волн, движущихся навстречу друг другу вдоль одной прямой, получим:

 

x₁ =

 

x ₂ =

 

æ

y ö

A sinç

щt - 2р

÷

æ

y

р ö

è

л ø

Þ x = x1 + x 2

= 2A cosç2р

+

÷sin(щt + р) .

æ

y

л

ö

è

ø

A sinç

щt + 2р

+ р ÷

л

è

ø

Узлы - точки, в которых амплитуда равна нулю. y = 2n ^л₄ = n ^л₂

Пучности – точки, которые колеблются с наибольшими амплитудами: y = (2n +1) ^l₄

 

Длина стоячей волны l_ст - расстояние между двумя соседними узлами или пучностями.

 

Главное свойство стоячей волны – отсутствие переноса энергии.

 

 

4.1. 26. Уравнение неразрывности

 

Идеальная жидкость - воображаемая несжимаемая и не обладающая внутренним трением или вязкостью жидкость.

 

 

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости движения частиц жидкости, на-зывается трубкой тока.

 

Уравнение неразрывности: для данной трубки тока произведение пло-щади поперечного сечения трубки на скорость течения несжимаемой жидко-сти есть величина постоянная.

 

Sυ = const

 

4.1.27. Уравнение Бернулли

 

При стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления, кинетической и потенциальной энергий остается постоянной в любом поперечном сечении потока (теорема Бернулли):

 

rv2	+ rgh + p = const	- уравнение Бернулли

где ^rv2 - удельная кинетическая энергия жидкости, rgh – удельная потен-

 

циальная энергия жидкости, р – удельная энергия жидкости, обусловленная силами давления.

С другой стороны, все члены уравнения можно рассматривать как дав-ления:

р – статическое; rv²/2 – динамическое; rgh – гидравлическое:

Þ в стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давле-ние, слагаемое из динамического, статического и гидравлического давления постоянно в любом поперечном сечении потока.