Баланс энергии электромагнитного поля в простейшем плоскопараллельном резонаторе

Рассмотрим в качестве модели реального лазерного резонатора простейший плоскопараллельный резонатор (рис. 1). Два плоских зеркала расположены идеально параллельно друг другу и перпендикулярно оптической оси. Апертура зеркал имеет площадь A. Расстояние между зеркалами – L. Пусть весь объем резонатора, равный V=AL, полностью заполнен однородной по составу активной средой кислородно-йодного лазера.

Пусть одно из зеркал (левое на рис. 1) – «глухое», т.е. имеет нулевой коэффициент пропускания t=0. Другое зеркало – «выходное» - имеет коэффициент пропускания 0<t<1. Под коэффициентом пропускания понимается, как обычно, отношение интенсивности излучения, прошедшего через зеркало, к интенсивности падающего на него излучения.

 

Рис. 1.

Рассмотренные в разделе 5.1 уравнения описывают энергобаланс активной среды химического лазера, как и любой другой смеси химически реагирующих идеальных газов, в том случае, когда нет взаимодействия с электромагнитным полем. Присутствие поля вносит качественно новые черты в поведение активной среды. Казалось бы, поле ведет себя совершенно так же, как и любой другой компонент смеси, участвуя в «химических реакциях»:

(1)

Однако, в отличие от всех других компонент реагирующей смеси, фотоны движутся совершенно по-другому. Они не следуют вместе со всеми компонентами с одной общей скоростью, а перемещаются совершенно в другом направлении – в направлении оптической оси резонатора - со скоростью света.

Пусть резонатор сформирован двумя зеркалами таким образом, что направление движения активной среды (направление оси «x») и направление оптической оси резонатора взаимно перпендикулярны. Распределение плотности энергии электромагнитного поля зависит как от распределения усиливающих свойств активной среды, так и от формы зеркал. Фотоны движутся намного быстрее, чем активная среда, и успевают много раз отразиться от зеркал за время малейших изменений в распределении параметров активной среды. Поэтому обычно можно считать, что распределение плотности энергии поля квазистационарно и все время находится в равновесии с текущим состоянием активной среды, как стационарным, так и нестационарным.

Пусть резонатор работает таким образом, что плотность энергии фотонов равномерно распределена во всем объеме резонаторной полости. Это, разумеется, идеализация. Здесь важно то, что пространственное распределение источников и стоков фотонов не влияет на распределение самой плотности фотонов. Где бы фотон не «родился», он тут же со скоростью света покидает это место, а затем, многократно отражаясь от резонаторных зеркал, «размазывается» по объему резонаторной полости.

Пусть плотность фотонов в резонаторе равна r. Найдем, каким образом эта плотность связана с интенсивностью выходного лазерного пучка I. Рассмотрим схему взаимодействия поля в резонаторе с выходным зеркалом (рис. 2):

 

 

Рис. 2.

 

Здесь I₊ - интенсивность волны, падающей изнутри резонаторной полости на выходное зеркало, I_- - интенсивность отраженной волны, b, t - коэффициент потерь на зеркале и коэффициент пропускания выходного зеркала. Сумма интенсивностей падающей и отраженной волн, иначе называемая «внутрирезонаторной интенсивностью», равна:

Кстати:

Совокупность падающей и отраженной волн, формирующая в лазерном резонаторе что-то вроде стоячей волны, называется «резонаторной модой». Распределение энергии (плотности фотонов) в резонаторной моде на самом деле не является равномерным, а зависит как от распределения усиливающих свойств активной среды, так и от формы и взаимного положения резонаторных зеркал.

Отступление:

Кстати, вблизи второго зеркала (так называемого «глухого» зеркала, т.к. его коэффициент отражения в идеале равен нулю) внутрирезонаторная интенсивность немного другая. Действительно, отраженная от выходного зеркала волна с интенсивностью I_- дважды проходит через активную среду, усиливаясь, и один раз отражается от глухого зеркала, теряя энергию вследствие рассеяния и поглощения. Поэтому, в стационарном случае:

На глухое зеркало падает волна с интенсивностью:

Отражается от глухого зеркала волна, которая после однократного прохода через активную среду приобретает интенсивность I₊, поэтому ее интенсивность должна быть равна I₊exp(-kL):

Сумма интенсивностей волны, падающей на глухое зеркало и отраженной от него, то есть, иначе говоря, внутрирезонаторная интенсивность вблизи глухого зеркала, равна:

Сравнивая это выражение с ранее полученным для I₀, замечаем, что они не совпадают. Таким образом, модель с равномерной плотностью энергии в резонаторной полости имеет определенные внутренние противоречия. Тем не менее, несмотря на свою ограниченность, эта модель полезна и при правильном использовании дает адекватные результаты. Необходимо лишь помнить об этой ограниченности и применять такую модель, не забывая о необходимости обоснования корректности ее использования.

Конец отступления.

Внутрирезонаторная интенсивность связана с плотностью фотонов следующим образом:

,

где плотность фотонов r измеряется в молях на кубический метр, как и плотности всех остальных компонент химически реагирующей смеси.

Фотоны, составляющие лазерную моду, покидают объем резонатора, как за счет «полезных» потерь, формируя выходной лазерный пучок, так и за счет «вредных» потерь, рассеиваясь и поглощаясь на зеркалах и в объеме активной среды. Процесс вынужденного излучения должен в точности компенсировать эти потери, если генерация является стационарной. Мощность выходного пучка равна AI (A – площадь апертуры резонатора, I – интенсивность выходного пучка), мощность, рассеиваемая и поглощаемая на двух зеркалах, равна 2AbI₊, а объем активной среды в резонаторе равен AL. Тогда средняя по объему плотность фотонов, покидающих резонатор в единицу времени, равна:

С другой стороны, процесс вынужденного излучения рождает фотоны. Объемная плотность фотонов, рождаемых в единицу времени, определяется уравнениями «реакций» вынужденного излучения и законом действующих масс:

В случае стационарной генерации плотность фотонов неизменна во времени, поэтому (dr/dt)_расход=(dr/dt)_приход, или:

Переходя от плотности фотонов r к выходной интенсивности I, получаем:

Или, окончательно,

Эта связь между степенью активации атомарного йода и параметрами лазерного резонатора справедлива в режиме стационарной генерации, является следствием баланса энергии поля в резонаторе и не зависит от того, имеет ли место слабое или сильное взаимодействие поля и активной среды.