Уравнение энергии

Уравнение энергии – это выражение закона сохранения энергии (первого закона термодинамики), который для выделенного физического тела записывается следующим образом:

где dQ – количество тепла, переданное телу от внешнего мира, dA – работа, совершаемая внешними силами над телом, dU – изменение внутренней энергии тела, dK – изменение кинетической энергии тела.

Мы рассматриваем адиабатическое движение газа по каналу, то есть такое движение, в процессе которого газ не обменивается теплом с внешней средой. Такое движение также называют теплоизолированным. Поскольку теплообмен с внешней средой может происходить только через стенки канала, такие стенки также называются теплоизолированными или адиабатическими. Для такого случая dQ=0.

Снова рассмотрим элемент канала с бесконечно малой длиной dx (рис. 1).

В начальный момент времени t выделим массу газа, находящуюся между сечениями канала «x» и «x+dx». Эта масса представляет собой физическое тело, баланс энергии которого будет интересовать нас в дальнейшем.

На левой границе выделенного объема параметры равны {u, r, P, T}. На правой границу – {u+du, r+dr, P+dP, T+dT}, причем du=(du/dx)dx и аналогично для всех других параметров.

Мы рассматриваем такое приближение, в котором силы трения газа о стенки не учитываются. Тогда работа внешних сил – это работа сил давления, действующих на подвижных поверхностях выделенного тела. Левая граница выделенного тела за промежуток времени между «t» и «t+dt» перемещается на расстояние udt. Правая – на (u+du)dt. Тогда:

Раскрываем скобки и пренебрегаем членами с порядком малости выше первого. Получается:

Левая граница выделенного тела за промежуток времени между «t» и «t+dt» перемещается на расстояние udt. Правая – на (u+du)dt. Рассмотрим часть объема канала, находящуюся между левой границей «нового» положения тела и правой границей «старого». Внутренняя энергия единицы массы газа равна C_vT (пусть C_v=const). Поскольку течение стационарное, внутренняя энергия газа, находящегося в этом объеме в момент времени «t», равна внутренней энергии газа, находящегося там же в момент «t+dt». Поэтому внутреннюю энергию выделенного физического тела в момент «t+dt» можно выразить следующим образом:

Второй (отрицательный) член в правой части – это внутренняя энергия газа, заключенного между левой границей «старого» положения и левой границей «нового» положения выделенного физического тела. udt – это продольный размер, F – площадь сечения, поэтому uFdt – это объем, ruFdt – масса, а C_vTruFdt – внутренняя энергия. Третий член (положительный) член – это, аналогично, внутренняя энергия газа, находящегося между правыми границами.

Раскрываем скобки и пренебрегаем членами с порядком малости выше первого. Получается:

Сумма первых трех членов в квадратных скобках в последнем выражении равна нулю в силу закона сохранения массы. Тогда изменение внутренней энергии тела:

Аналогично, изменение кинетической энергии тела:

Кинетическая энергия единицы массы равна u²/2. Второй (отрицательный) член в правой части – это кинетическая энергия газа, заключенного между левой границей «старого» положения и левой границей «нового» положения выделенного физического тела. udt – это продольный размер, F – площадь сечения, поэтому uFdt – это объем, ruFdt – масса, а (1/2)u²ruFdt – кинетическая энергия. Третий член (положительный) член – это, аналогично, кинетическая энергия газа, находящегося между правыми границами.

Раскрываем скобки и пренебрегаем членами с порядком малости выше первого. Получается:

Используя закон сохранения массы, получаем:

Собирая вместе все полученные выражения и подставляя их в уравнение первого закона термодинамики, получаем:

Из уравнения состояния P/r=RT=(C_p-C_v)T. Подставляем:

Это и есть окончательная форма уравнения энергии для стационарного одномерного адиабатического потока совершенного газа, которое является следствием закона сохранения энергии.

Помня о том, что дифференциалы всех величин выражаются через их производные по единственной независимой переменной «x», уравнение энергии для стационарного одномерного адиабатического потока можно записать следующим образом: