МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов–заочников строительных специальностей высших учебных заведений
Издательство АлтГТУ
БАРНАУЛ 2008
Методические указания по курсу «Строительная механика» составлены канд. техн. наук, доц. М.Н.Митропольским в соответствии с программой курса, утвержденной учебно-методическим управлением по высшему образованию.
При составлении методических указаний учтен опыт работы кафедры строительной механики ВЗИСИ.
Введение
Строительная механика в широком смысле слова представляет собой науку о принципах и методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.
Под прочностью обычно понимают способность сооружения сопротивляться разрушению. Жесткостью называют способность сооружения сопротивляться деформациям, недопустимым при его эксплуатации. Устойчивостью принято называть способность сооружения сохранять при деформации те общие геометрические формы, которые были ему присущи до иагруже-ния. Последнее понятие, хотя и схоже с понятием жесткости, но имеет ряд существенных отличий и поэтому изучение расчетов на устойчивость обычно выделяется в самостоятельный раздел.
Цель расчетов на прочность, жесткость и устойчивость заключается в одновременном обеспечении безопасности, долговечности, эксплуатационной способности и экономичности проектируемых сооружений.
Строительная механика является основой подготовки инженера строителя, она открывает путь к проектированию сооружений. Как удачно сказано в одной интересной книге: «...на долю строительной механики выпала серьезная и ответственная задача заполнить большое пространство между общими разделами теории упругости и пластичности, с одной стороны, и непосредственным проектированием инженерных сооружений, с другой» (В. В. Болотин, И. И. Гольденблат, А. Ф. Смирнов. Современные проблемы строительной механики. Стройиздат, 1964).
Многообразие и сложность задач, стоящих перед строительной механикой, приводят к невозможности ее изучения в рамках одного курса и вызывают деление его на ряд связанных между собой дисциплин: сопротивление материалов, прикладная теория упругости и пластичности, строительная механика самолета, строительная механика корабля, строительная механика стержневых систем и другие.
Цель строительной механики стержневых систем, называемой обычно просто строительной механикой, но уже в узком смысле слова, вооружить инженера знаниями, позволяющими находить наиболее экономичные и надежные схемы и размеры сооружений, создаваемых для успешного разрешения народнохозяйственных задач в нашей стране.
Высококачественное и экономичное проектирование сооружений возможно лишь при высокой квалификации инженера, при его отличной теоретической подготовке и овладении им методами строительной механики. Умение решать задачи строительной механики — это и есть умение проектировать сооружения, умение оценивать их прочность и надежность.
Из курса «Сопротивление материалов» студенту известны начальные сведения о порядке оценки прочности, жесткости и устойчивости применительно к простым системам (балкам, брусьям, стержням), употребляемым часто как самостоятельные сооружения или входщим в состав сложных конструкций. Строительная механика изучает сооружения, состоящие из большого числа стержней, и на основе общих принципов устанавливает и совершенствует методы точного и приближенного расчета сложных систем (балок, арок, ферм, рам, пластинок, оболочек, пространственных конструкций).
К изучению строительной механики следует приступать после усвоения дифференциального и интегрального исчисления, теоретической механики и сопротивления материалов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТЕМАМ КУРСА
Введение и основные понятия
Литература: [1] § 1.1—2.8; [2], Введение, § 1.1—3.1; [3], § 1 — 19; [4], § 1-10, приложение*; [5], ч. 1, гл. 1, § 1-7, гл. 2, § 1-Ю; [6], ч. 1, § 1-4; [7], Введение, § 1-7; [8], § 1-6; [9], гл. 1, задачи 1.1-1.24; [10], § 1; [11], гл. 2, § 2.1; [12]*, § 8-12; [13]*, Введение, § 1.
Методические указания
Изучение строительной механики необходимо начать с повторения основных положений теоретической механики (статики) и сопротивления материалов, касающихся понятий прочности, жесткости и устойчивости.
Особо важное значение имеет умение правильно определять внутренние усилия при помощи известного из сопротивления материалов метода сечений. При этом надо помнить условия равновесия сил на плоскости (три уравнения равновесия) и в пространстве (шесть уравнений равновесия). Надо знать основные типы опор, уметь определять возникающие в них реакции и направления возможных перемещений. Надо вспомнить, что обычно реакции неизвестного направления определяются их проекциями на выбранные оси координат. При этом иногда, для удобства, можно пользоваться осями любого направления, а не обязательно взаимно-перпендикулярными. Следует иметь в виду, что первым этапом расчета обычно является определение опорных реакций, которые являются такими же внешними силами, как и заданная нагрузка.
Большую роль в курсе строительной механики играют эпюры внутренних усилий (изгибающих и крутящих моментов, поперечных и продольных сил). Метод построения эпюр известен также из курса сопротивления материалов. Очень важно повторить не только по» рядок построения эпюр, но и вспомнить правила их проверки (дифференциальную и интегральную зависимости между эпюрами М и Q и нагрузкой).
С историей развития строительной механики учащийся должен хотя бы кратко ознакомиться уже в начале курса; более подробно это следует сделать по мере прохождения отдельных тем. Исторический материал удобно расположен в основном учебнике [1]. Более подробные сведения можно получить в книге [5].
Изучая понятие расчетной схемы, надо усвоить, что выбор той или иной расчетной схемы явдяется важным этапом расчета сооружения. Расчетная схема тесно связана с методами дальнейшего расчета сооружения, с допущениями и предпосылками, лежащими в основе расчета. Для одного и того же сооружения нередко можно предложить разные расчетные схемы, выбор которых зависит от требуемой точности расчета.
Если в сопротивлении материалов главным образом изучались постоянные нагрузки всех видов, то в строительной механике большое место занимают временные и подвижные нагрузки, температурные воздействия, смещения опор и другие факторы, способные вызвать усилия в системе и ее деформацию.
Изучая кинематический анализ сооружений, надо усвоить понятия: диск, кинематическая связь, степень свободы, степень статической неопределимости, геометрическая неизменяемость. При проверке геометрической неизменяемости по аналитической формуле W=3Д— 2Ш—С следует обратить внимание на подсчет числа простых шарниров. Необходимо усвоить, что шарнир, соединяющий не два, а п дисков, эквивалентен п—1 простым шарнирам. Кроме того, следует иметь в виду, что под диском понимается такая часть системы, геометрическая неизменяемость и статическая определимость которой уже установлены. Если диск сам по себе статически неопределим (например, жесткий замкнутый контур), то вся система будет статически определимой лишь в смысле определения силовых воздействий на диски.
Особое внимание надо обратить на проверку правильности образования геометрически неизменяемых систем, твердо усвоив правило взаимного соединения дисков и присоединения систем к неподвижному основанию. При этом важно знать, что осью диска считается линия, соединяющая центры шарниров, присоединяющих его к другим дискам. При анализе структуры большое значение имеет правило замены двух пересекающихся стержней условным шарниром. (Последний может быть образован и двумя параллельными стержнями, пересекающимися в бесконечности).
Изучив признаки мгновенной изменяемости, необходимо попрактиковаться в их отыскании в сложных системах.
Появление и широкое распространение новых мощных вычислительных средств приводит к коренным, качественным изменениям в методах проектирования и в способах расчета сооружений. Появляется возможность в короткое время просчитывать сложные варианты (по уточненным расчетным схемам с более полным учетом физических свойств материала). В связи с этим в строительной механике все большую и большую роль приобретают численные методы анализа, хорошо приспособленные для реализации на цифровых электронных вычислительных машинах. Для лучшего усвоения новых методов решения задач строительной механики необходимо в самом начале изучения курса повторить из курса высшей математики основы матричного исчисления и линейные преобразования векторов. Необходимо повторить правила операций над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на скаляр, перемножение двух матриц, умножение матрицы на матрицу-столбец, умножение матрицы-строки на матрицу-столбец, обращение, транспонирование матриц и пр. Необходимый материал по этим вопросам излагается в курсах высшей математики (например, учебное пособие Н. В. Ефимова «Квадратичные формы и матрицы». Физматиздат, 1963). Достаточно подробно основные сведения из теории матриц систематизированы в книгах [4], [12], [13].
Вопросы для самопроверки
1. Какие опоры применяются в плоских системах, как они условно обозначаются, какие реакции возникают в разных типах опор и какие перемещения могут в них возникать?
2. Для чего необходим анализ геометрической структуры расчетной схемы сооружения?
3. Что понимается под мгновенно изменяемой систе-
мой? Почему недопустимы системы, близкие к мгно-
венно изменяемым?
Рисунок 1
4 Проверьте правильность образования систем, приведенных на рис. 1. Укажите, какие надо внести изменения и дополнения в неправильно образованные системы.
ЧАСТЬ I
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ЧАСТЬ II СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ЧАСТЬ III
УСТОЙЧИВОСТЬ И ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ *
Раздел первый Устойчивость стержневых систем
Литература: [1], § 26.1—26.9; [4], § 94—109; [5], ч. 2, § 1.18—15.18; [9], гл. 15; [12], § 49—54; [14], раздел 1, § 1-38; [15], раздел 2, § 1-8, 14-26; [16], § 37, 38, 47, 48, 52, 72—78; [17], § 1 — 11, 14, 19—23, 25-27; [18], раздел 1, части 1; [19], § 1—23.
Методические указания
Вопросы устойчивости простых стержней рассматривались в курсе сопротивления материалов. В строительной механике изучаются более сложные случаи потери устойчивости стержней с любыми граничными условиями, стержней в упругосопротивляющейся среде, составных и многопролетных стержней, а также устойчивость рам, арок, пространственная устойчивость тонкостенных упругих стержней.
Основными методами расчета упругих систем на устойчивость приняты: статический, приводящий к решению дифференциальных уравнений изгиба или же к решению эквивалентных им однородных систем канонических уравнений метода сил или метода перемещений, и энергетический, при использовании которого необходимо задаваться уравнением изогнутой оси системы в момент потери устойчивости.
Изучение расчета рам на устойчивость следует ограничить случаем приложения критических сил к узлам и направленным по длине стоек. Как и при расчете на прочность, задача решается методом сил или методом перемещений. Для указанного случая приложения нагрузки всегда удается выбрать такую основную систему, при которой канонические уравнения не будут содержать свободных членов.
Определение коэффициентов канонических уравнений производится по специальным таблицам с учетом трансцендентных коэффициентов, взятых по таблицам в зависимости от параметра v
Таблицы трансцендентных функций метода сил и метода перемещений можно найти в книгах [14], [16], [17], [18]. Наиболее полные значения трансцендентных функций можно получить в специальном пособии «Таблицы функций для расчета стержневых систем на устойчивость и колебания» (составлены проф. А. Ф. Смирновым и изданы МИИТ в 1965 г.).
Системы канонических уравнений при отсутствии свободных членов имеют два решения:
а) все неизвестные равны нулю;
б) неизвестные отличны от нуля (что соответствует критическому состоянию), это возможно, когда определитель из коэффициентов канонических уравнений равен нулю.
Раскрытие определителя дает уравнение устойчивости, которое обычно решается подбором: нужно задаться такими величинами v, связанными между собой определенным соотношением, чтобы соответствующие им значения функций удовлетворяли уравнению устойчивости. По найденным значениям определяются величины критических сил.
Для рам и арок часто приходится решать задачу потери устойчивости второго рода, которая сводится к потере несущей способности, вследствие развития больших перемещений при продольно-поперечном изгибе стержней.
Постановка задач устойчивости в матричной форме,
предложенной А. Ф. Смирновым, больше всего подходит
к решению на вычислительных машинах. Наглядно, с
разбором примеров, этот способ изложен в учебных по
собиях [12] и [18].
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит энергетический критерий потери устойчивости?
2. Поясните последовательность определения критической силы при расчете рам методом перемещений.
3. Какие требования предъявляются к основной системе метода сил при расчете рам на устойчивость?
Раздел второй Основы динамики стержневых систем
Литература: [1], § 27.1—27.18, 28.1, 28.2, 28.5, 28.8— 28.10; [4], § 110—119; [5], ч. 2, § 1.19—12.19, 15.19—16.19, 19.19—21.19; [9], гл. 16; [12], § 55, 56; [14], ч. 3, разд. 2, § 1—31; [15], § 1-54, 71-76; [18], ч. 2; [19], § 24-35.
Методические указания
Сначала следует ознакомиться с видами динамических нагрузок. Задачи динамического расчета сооружений делятся, в основном, на две группы: а) изучение свободных и вынужденных колебаний упругих систем; б) расчет сооружений на действие динамических нагрузок.
Для решения обоих групп задач необходимо вначале определять «степень свободы» системы, т. е. числа независимых параметров, определяющих положение масс системы в процессе ее колебания.
Основным наиболее важным вопросом является изучение свободных и вынужденных колебаний систем с одной степенью свободы, так как практически к ним в большинстве случаев могут быть приведены системы с несколькими и бесконечным числом степеней свобо ды. Здесь важное практическое значение имеет определение частот и периодов колебаний.
При расчете на вынужденные колебания, большое значение имеет «динамический коэффициент», позволяющий легко находить усилия и деформации в системе.
Важную роль при оценке прочности системы, подверженной действию вибрационной нагрузки, имеет резонанс.
Изучая вопрос колебания систем с несколькими степенями, свободы, необходимо обратить внимание на составление уравнений перемещений сосредоточенных масс, «векового уравнения», а также на свойство «ортогональности» форм колебаний.
Изучение колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы надо начать с разбора колебаний стержня с распределенной массой.
Важными для практических расчетов являются приближенные методы вычисления наименьших частот колебаний системы с большим и бесконечным числом степеней свободы. Здесь необходимо ознакомиться с методом Релея, энергетическим методом, методом приведенных масс и, наконец, с очень важным в практическом отношении методом «последовательных приближений».
Весьма эффективно динамические задачи решаются графоаналитическим методом, разработанным А. Ф. Смирновым, и приспособленным для решения на электронных вычислительных машинах.
Вопросы для самопроверки
1. Как установить степень свободы упругой системы?
2. Что называется круговой частотой и как она определяется для системы с одной степенью свободы?
3. Определите динамический коэффициент для системы с одной степенью свободы при действии на нее импульса.
4. Что такое резонанс и как влияют на него силы сопротивления?
5. Что такое главные формы колебаний? Каковы их свойства?
6. Составьте дифференциальные уравнения колебаний
для системы с двумя степенями свободы. Поясните по
рядок их решения.
Задачи
Рисунок - 20
Для построения эпюр М и Q удобнее пользоваться схемой взаимодействия («поэтажной» схемой), которую следует расположить непосредственно под схемой заданной балки.
Определение сил взаимодействия в шарнирах, опорных реакций, моментов и поперечных сил в характерных сечениях должно сопровождаться необходимыми расчетными формулами в общем и численном виде. Схема каждой отдельной балки должна быть вычерчена самостоятельно, а эпюры М и Q можно строить на общей! базе под «поэтажной» схемой.
Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон (положительные от оси вниз). Знаков на эпюре моментов обычно не ставят, но обязательно надо проставлять значения характерных ординат с указанием размерности.
При построении эпюр Q положительные ординаты откладываются вверх и на эпюрах обязательно ставятся знаки.
Для построения линий влияния следует вычертить еще раз «поэтажную» схему, но уже без нагрузки. Построение линий влияния надо сопроводить необходимыми уравнениями. Для линий влияния надо вычислить и нанести на чертеж все характерные ординаты, в том числе и ординаты в местах приложения сосредоточенных сил, а также начала и конца равномерно распределенной нагрузки. Определение усилия по линиям влияния также надо сопроводить необходимыми подсчетами.
Рисунок - 21
Таблица 2
Первая цифра шифра | l, м | α | β1 | Вторая цифра шифра | β2 | q1, Т/м | q2, Т/м | Последняя цифра шифра | Вариант схе-мы | Очертание оси | f|l | P, Т |
0,20 | 0,20 | 0,65 | а | парабола | 0,34 | |||||||
0,50 | 0,30 | 0,58 | а | окружность | 0,35 | |||||||
0,30 | 0,22 | 0,70 | б | рама | 0,39 | |||||||
0,60 | 0,25 | 0,72 | в | рама | 0,40 | |||||||
0,40 | 0,15 | 0,80 | г | рама | 0,32 | |||||||
0,70 | 0,40 | 0,60 | а | парабола | 0,36 | |||||||
0,80 | 0,35 | 0,66 | б | рама | 0,38 | |||||||
0,25 | 0,12 | 0,75 | а | окружность | 0,33 | |||||||
0,35 | 0,33 | 0,85 | в | рама | 0,30 | |||||||
0,45 | 0,45 | 0,55 | г | рама | 0,31 |
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 3.
Схему арки надо вычертить, определив, по уравнению ее оси достаточное число точек (не менее пяти, включая замковый шарнир С) и проведя через них плавную кривую. На схему надо нанести все заданные размеры и нагрузку. Для точек K1 и K2 надо вычислить координаты и, кроме того, значения синусов и косинусов углов наклона касательных.
Ординаты точек оси и углы наклона касательных определяются по следующим уравнениям:
а) при очертании оси по параболе
б) при очертании оси по окружности
где
Для трехшарнирных рам ординаты и необходимые углы наклона определяются непосредственно из чертежа.
Вычисление значений опорных реакций, моментов, поперечных и продольных сил в заданных точках надо иллюстрировать необходимыми формулами.
Для построения линий влияния М, Q и N надо сначала построить линию влияния распора и подсчитать значение ее характерной ординаты. На окончательных линиях влияния должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат, определение которых должно быть приведено в расчете. Линии влияния надо строить под схемой арки (рамы) в том же линейном масштабе.
Рисунок - 23
непосредственно через заданную нагрузку и опорные реакции, а не одно через другое. Всего должно быть определено 8 усилий (все стержни заданной панели и правая стойка).
Рекомендуется сначала рассмотреть заданную схему и найти все усилия, для которых можно провести сечение через три стержня или вырезать узел. Обычно при этом удается найти усилия во всех стержнях, относящихся одновременно и к основной решетке, и к шпренгелю. Остальные усилия удобнее определять из рассмотрения только основной решетки или только шпренгеля. При выделении шпренгелей нельзя забывать о передаче действующих на них сил в узлы основной решетки.
Производя определение усилий, надо приводить все схемы, разрезы и указывать все величины, входящие в расчетные формулы. Геометрические характеристики (плечи, углы и пр.), должны быть определены аналитически, а не по масштабу.
При построении линий влияния надо привести все необходимые расчеты, а на полученных линиях влияния проставить числовые значения ординат под каждым углом.
Для определения максимального усилия от временной нагрузки надо загрузить все узлы, которым соответствуют положительные значения ординат линии влияния. Для определения минимальных усилий — узлы, соответствующие отрицательным ординатам линии влияния.
Максимальное расчетное усилие определяется суммой усилий от постоянной нагрузки и максимального усилия от временной нагрузки. Минимальное расчетное усилие равно
Таблица подсчета расчетных усилий (показан пример записи)
Наименование стержня | Усилие от постоянной нагрузки, Т | Усилие от временной нагрузки, Т | Расчетные усилия, Т | ||
макси-мальное | мини- мальное | макси-мальное | мини- мальное | ||
Первый | 5,5 | 8,3 | -0,2 | 13,8 | 5,3 |
Второй | -6,4 | 0,4 | -9,2 | -6,0 | -6,0 |
· | · | · | · | · | · |
· | · | · | · | · | · |
· | · | · | · | · | · |
сумме усилия от постоянной нагрузки и минимального усилия от временной нагрузки. Максимальные и минимальные расчетные усилия должны быть определены для всех восьми стержней и сведены в таблицу (см. стр. 53).
Рисунок - 24
с последующим сложением результатов.
Все эпюры должны быть четкими, иначе трудно подсчитывать их площади и положения центров тяжести отдельных площадей.
Рисунок - 27
При составлении уравнений трех моментов надо обратить внимание на знаки моментов на крайних опорах при наличии консолей. При определении свободных членов уравнений в случаях, когда в пролете действует несколько сил, рекомендуется каждую нагрузку учитывать отдельно.
После решения уравнений трех моментов полученные значения неизвестных надо обязательно подставить во все уравнения и убедиться в правильности решения.
При построении эпюры моментов ординаты следует откладывать со стороны растянутых волокон, т. е. положительные—вниз. Сначала надо отложить значения опорных моментов и соединить концы полученных ординат пунктирной линией. От полученной линии опорных моментов откладываются эпюры моментов, построенные для каждого пролета, как для однопролет-ной балки. Такие эпюры должны быть приведены в начале расчета, так как по ним определялись свободные члены уравнений трех моментов.
Для пролета, для которого будет строиться объемлющая эпюра моментов, следует определить ординаты окончательной эпюры М в точках с интервалом 0,25 l.
Эпюра поперечных сил строится по эпюре моментов так же, как и в задаче 7.
Для построения эпюр от попролетного загружения балки временной нагрузкой сначала необходимо вычислить моментные фокусные отношения (правые и левые) для каждого пролета. Определение моментов на загруженном временной нагрузкой пролете можно определять по формулам
или же путем решения уравнений трех моментов.
Эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует строить одну под другой в следующем порядке:
а) эпюра от загружения левой консоли (если она имеется) временной нагрузкой;
б) эпюра от загружения первого пролета и т. д.
Все эпюры моментов строятся в том же масштабе, что и эпюра моментов от постоянной нагрузки и должны иметь величины моментов на каждой опоре, а для пролета, для которого будет строиться объемлющая эпюра, еще ив точках с интервалом через 0,25l.
Ординаты объемлющей эпюры рекомендуется определять в табличной форме.
Таблица подсчета ординат объемлющей эпюры моментов (показан пример записи)
Сечение | Момент от посто- янной нагрузки | Моменты от загружения временной нагрузкой, Т·м | Ммакс, Т·м | Ммин, Т·м | ||||
левой консоли | первого пролета | второго пролета | третьего пролета | правой консоли | ||||
… | … | … | … | … | … | … | … | … |
… | … | … | … | … | … | … | … | … |
i | -6 | -10 | -4 | |||||
k | -18 | -6 | -10 | -12 | -9 | -46 | ||
… | … | … | … | … | … | … | … | … |
При подсчете максимального изгибающего момента для какого-либо сечения берется момент от постоянной нагрузки и все положительные моменты от загружения отдельных пролетов временной нагрузки; для минимального момента берется момент от постоянной нагрузки и все отрицательные значения моментов от временной нагрузки. Для примера в указанной таблице приведены подсчеты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и к. Соединяя последовательно ординаты Ммакс, получим объемлющую Эпюру Ммакс Аналогично получим эпюру Ммин.
Обе объемлющие эпюры строятся на одной базе.
Для построения характера линии влияния рекомендуется воспользоваться кинематическим методом, т. е. отбросить связь по направлению исследуемой величины и заменить ее единичной силой. После этого надо представить возможный вид изогнутой оси, который и будет моделью искомой линии влияния.
Рисунок - 29
После подсчета этих величин следует определить значение неизвестного
и затем заполнить последующие графы (9—11). В последней графе надо произвести проверку решения, подсчитав сумму всех величин, которая должна быть равна нулю или близкой к нему (с ошибкой не более 3%).
Рисунок - 30
перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы (включая опорные).
При построении единичных и грузовых эпюр моментов используются таблицы реакций, имеющиеся в учебниках.
Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канонических уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость (ЕI1 или ЕI2). Удобно также перейти к погонным жесткостям стержней (i=EI:l). При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками.
Решение канонических уравнений необходимо проверить путем подстановки найденных значений неизвестных в исходные уравнения.
После определения значений неизвестных рекомендуется построить «исправленные» эпюры моментов (Мi). Суммирование этих эпюр между собой и с грузовой эпюрой дает окончательную эпюру моментов. Суммирование рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно приводить все расчеты.
Эпюру поперечных сил надо строить по эпюре моментов так же, как в задаче 7 (см. стр. 60). Так же строятся и эпюры продольных сил.
Проверку полученных эпюр надо провести как статическую (рассмотрение равновесия узлов и рамы в целом), так и кинематическую. Для последней проверки необходимо выбрать основную систему метода сил и построить хотя бы одну единичную эпюру, которую следует «перемножить» с окончательной эпюрой моментов по правилу Верещагина.
Рисунок - 31
Специальные таблицы эпюр моментов и необходимых функций для метода перемещений лучше всего взять в пособии проф. А.Ф.Смирнова «Таблицы функций для расчета стержневых систем на устойчивость и колебания», таблица 2 (изд. МИИТ, 1965 г.). Такие же таблицы можно найти и в источниках [14], [16], [17], [18].
Коэффициенты канонических уравнений будут включать в себя некоторые функции и
от параметров
где Pi и Pk – силы, действующие вдоль стоек hi и hi;
EJi и EJk – жесткости стоек.
Таблица 12
Первая цифра шифра | l1 м | h1 м | Вторая цифра шифра | α=P1/P2 | l2 | Последняя цифра шифра (№ схемы) | h2 м | l1:l2 |
1,2 | 0,9 | |||||||
1,3 | 0,8 | |||||||
1,4 | 0,7 | |||||||
1,5 | 0,6 | |||||||
1,6 | 0,5 | |||||||
1,7 | 1,2 | |||||||
1,8 | 1,4 | |||||||
1,9 | 1,5 | |||||||
2,0 | 1,6 | |||||||
2,5 | 1,8 |
По заданию силы Pi и Pk связаны между собой коэффициентом α, поэтому и параметры v и vk окажутся связанными соотношением:
Для нахождения РКр составляется и приравнивается нулю определитель из коэффициентов канонических уравнений
Это уравнение решается относительно v подбором. Например, задавшись значением vk, по зависимости между vk и vi определяют vi. Затем из таблиц выписывают значения функций и
, входящих в уравнение устойчивости. Если данные, значения φ не удовлетворяют уравнению, т. е. левая часть его не обращается в нуль, то нужно задаться другим значением vk и проделать все вычисления вторично и т. д.
удовлетворяющие уравнению устойчивости, то по формулам
определяются значения критических сил.