Сложение гармонических колебаний - раздел Механика, Курс лекций по физике. Механика Материальная Точка Может Участвовать Одновременно В Нескольких Колебательных ...
Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.
Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.
Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.
Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой :
,
где – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.13.
;
;
где
Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:
.
Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов и . Проекция конца вектора определяет результирующая координате x. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды .
Для времени t=0
для произвольного момента времени t
,
где и - амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.
Из по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:
,
,
, (1.48)
где .
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если , где , то и . Колебания усиливают друг друга.
Если , то и Если разность фаз равна нечётному числу , колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале
.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:
1. Пусть , причём (или ), и
Уравнение колебаний:
Координата результирующего колебания
(1.49)
Так как , то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.
Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:
Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой , у которого амплитуда .
Рис 1.14
Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.
Частота и период биений
,
где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.
Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осей x и y, причём
Уравнения для координат точки.
Разделив второе уравнение на первое, получим
Полученное соотношение представляет прямую, проходящую
через начало координат и наклонённую к оси х под углом
.
Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:
где - амплитуда колебания.
При сложении колебаний, когда
Уравнение для координат точки.
Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.
Для
Перепишем эти уравнения в виде
Возведём в квадрат и почленно сложим:
Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и . При эллипс превращается в окружность.
Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.
Если , движение происходит против часовой стрелки.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.
Уральский государственный университет путей сообщения... Кафедра физики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Сложение гармонических колебаний
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Понятия и определения
Механика – изучает движение тел в пространстве с течением времени.
Движение без учета сил действующих на тело, рассматривается в кинематике, а с учетом их в динамике.
Вращательное движение
Рассмотрим движение м.т. по окружности радиусом R с постоянной линейной скоростью в
Колебательное движение
Движение будет колебательным, если его кинематические характеристики повторяются с течением времени.
Если движение тела повторяется через равные промежутки времени, то оно называется перио
Законы Ньютона.
При изучении движения тел в пространстве важно выбрать такую систему отсчета, в которой бы перемещение тела в отсутствии действия на него сил происходило равномерно и прямолинейно.
Ньютон,
Динамика поступательного движения тела
Твёрдое тело (ТТ) – это тело, которое не деформируется при действии на него сил. Масса ТТ представляется в виде суммы материальных точек связанных между собой внутренними сил
Динамика вращательного движения
При вращательном движении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 2.3).
Угловые
Лекция 4.
2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колеб
Для самостоятельного изучения
2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
Сила – это векторная величина, характеризующая взаимо
Силы трения
Силы трения возникают в результате взаимодействия движущихся и покоящихся тел, соприкасающихся друг с другом.
Различают внешнее (с
Сила вязкого трения и сопротивления среды.
Сила вязкого трения возникает между слоями одного и того же сплошного тела (жидкости или газа). Сила вязкого трения зависят от отно
Деформация стержня
Стержень длинной l0 и сечением S при действии сил и перпендикул
Энергия колебательного движения
В процессе колебаний тела или системы тел происходят периодические переходы его кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую.
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия пружины
Внешняя сила, сжимая или растягивая пружину, совершает работу. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму, а потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деф
Потенциальный барьер и яма
Потенциальная энергия может быть представлена графически. График, выражающий зависимость потенциальной энергии от соответствующей коорди
Для самостоятельного изучения
4.4.1. Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел.
При соударении тела деформируются. При
Продольные и поперечные волны
Если какую-либо частицу или совокупность частиц упругой среды привести в колебательное движение, то колебания не останутся локализованными в том месте, где они возникли, а благодаря взаимодействию
Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.
Уравнение волны позволяет найти смещение s любой частицы среды от ее положения равновесия. Смещение зависит от координат частицы и времени s(x, y, z, t) и является периодической функцией.
Размеры и масса молекул
Вещество в молекулярной физике рассчитывается как совокупность гигантского количества атомов и молекул.
Молекулы движутся х
Движение и столкновение молекул газа
В газе молекулы перемещаются, испытывая соударения друг с другом. При каждом соударении скорость молекулы изменяется по величине и по напра
Давление и температура.
Вещество может находиться объеме, при температуре Т и давление Р. Эти три величины, характеризующие состояние вещества, называются параметрами состояния.
Давление P — это с
Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
В газе находящимся в объеме всегда имеется неоднородность плотности, давления, температуры. Хаотическое движение молекул постепенно выравнивает эту неоднородность, и газ приходит в состояние равнов
Давление идеального газа на стенку
Давление газа в сосуде определяется взаимодействием его молекул со стенкой. Выделим на поверхности стенки сосуда достаточно малую площадку
Уравнение состояния идеального газа
Опытным путем было получено отношение, которое равно постоянной велечине.
При условии, что газ имеет Р = 1,01∙105
Работа и теплопередача
Обмен энергией между (ТС) и окружающими ее телами может проходить в двух формах: макроскопической (в форме работы) и микроскопической (в форме теплопередачи, или теплооборота).
Работа
Изменение энтропии в изопроцессах
Пусть система совершает процесс с изменением термодинамической вероятности указанной на рис. 8.9.
Состояние системы с термодинамической вероятностью W1 в начальный момент времен
Второе начало термодинамики
Приведем наиболее простую формулировку второго начала термодинамики: тепло не может переходить самопроизвольно холодных тел к горячим. Это утверждение многократно подтверждается в нашей практике, в
Динамика
· Свободное тело - тело, на которое не действуют какие-либо другие тела.
· Инерциальная система отсчета- система отсчета, в которой свободное тело покоитс
- это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.
, то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой 
:
,
– угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.13.
;
;
.
и 
. Проекция конца вектора 
,
и 
- амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.
по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:
,
,
, (1.48)
.
слагаемых колебаний. Если 
, где 
, то 
и 
. Колебания усиливают друг друга.
, то 
и 
Если разность фаз равна нечётному числу 
, колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале
.
, причём 
(или 
), 
и 
(1.49)
, то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.
<<
). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой 
, у которого амплитуда 
.
, 
- частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.
Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осей x и y, причём 
Полученное соотношение представляет прямую, проходящую
.
- амплитуда колебания.
Для
и 
. При 
эллипс превращается в окружность.
то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.
, движение происходит против часовой стрелки.
Новости и инфо для студентов