Упражнения

 

11.1. Осаждение биомассы. а) Вычислите кажущийся размер изолированных частиц, если известны их плотности (ρ) н скорости осаждения (u_s):

первичный осадок в сточных водах (гл. 14) (ρ=1,001 г/см³, u_s=0,042 см/с);

частицы активного ила (гл. 14) (ρ=1,005 г/см³ и,=0,2 см/с);

дрожжн (ρ=1,001, u_s=0,0003 см/с). (Данные из работы: Physicochemical Processes for Water Quality Control, Weber W. J. (ed.), p. 128, Wiley Interscience, 1972.)

6) Целесообразно ли выделять бактерии (ρ=1,001, эффективный диаметр 1,0 мкм) отстаиванием, если продолжительность отстаивания составляет менее 1 ч? Почему (нет)?

11.2. Фильтрование биомассы; периодическая операция. Необходимо отфильтровать бульон, находящийся в перемешиваемом (встряхиванием) сосуде, при следующих условиях:

A = 10 cм²; μ_c=2 сП; Δp=0,3 атм; ρ = 1,1 г/см³; w = 0,001 и m=2,5.

а) Рассчитайте удельное сопротивление осадка α и коэффициент сопротивления фильтра r, если в разное время найдено, что [t(s), V(мл)] = (30, 38) (60,52).

б) Масштабирование. Фильтр какой площади A_t потребуется для переработки 10⁵ л такого бульона в течение 10 мин?

11.3. Ротационный вакуум-фильтр; непрерывное фильтрование. Вращающийся вакуум-фильтр частично погружен в культуральиую жидкость. Процесс фильтрования и накопления осадка начинается, как только фильтр погрузится в культуральиую жидкость.

а) Найдите выражение, описывающее зависимость локальной плотности накапливающегося осадка (W/A) от времени (t) при вращении фильтра в бульоне. Как упростится это выражение, если скорость фильтрования определяется 1) только сопротивлением фильтра; 2) только сопротивлением осадка? Набросайте графики всех трех зависимостей.

б) Предположим, что на фильтре в конечном итоге накапливается осадок с плотностью γ. Найдите выражение, описывающее абсолютную скорость фильтрования бульона, если радиус фильтра равен R, а скорость его вращения составляет ω рад/мин. Примите во внимание необходимость интегрирования локальных скоростей по всей погруженной фильтрующей поверхности.

11.4. Центрифугирование. Пусть суспензия сферических частиц радиусом R и плотностью ρ_p помещена в центрифужную пробирку, содержащую жидкую среду с плотностью ρ_f и вязкостью μ_f. Если пробирка вращается с угловой скоростью ω рад/с, то движение изолированной частицы в разбавленной суспензии описывается уравнением (1П1.4).

а) Разбавленную суспензию дрожжей (R=5 мкм, ρ=1,001) подвергают центрифугированию со скоростью 10 000 об/мин, причем высота слоя суспензии в пробирке равна 4 см. При вращении ротора пробирки располагаются перпендикулярно оси вращения, а расстояние от дна пробирки до оси вращения составляет 8 см. Сколько времени потребуется для полного разделения суспензии? Сформулируйте все принятые допущения.

б) В условиях, описанных в предыдущей задаче, центрифугируют концентрированную суспензию сферических частиц (объемная доля частиц в суспензии равна ε_p). Найдите выражение, с помощью которого можно определить время, необходимое для разделения суспензии, если Sp постоянно. Справедливо ли, по вашему мнению, допущение ε_p=const? Почему (нет)?

11.5. Фильтрование мицелия. Удельное сопротивление осадка при фильтровании мицелиальных организмов (например, при производстве пенициллина) можно оценить по параметрам сопротивления потоку через неподвижный слой, состоящий из цилиндров. Удельное сопротивление осадка r описывается уравнением

где K’’ — коэффициент сферичности Козени, s_p — удельная площадь поверхности частиц осадка, ε — объем пустот в осадке. Параметр s_p зависит от диаметра гифов (клеток) d_h согласно выражению

а объем пустот е определяют по уравнению

где ρ_h—плотность гифов, а v — удельный объем осадка.

а) Покажите, что из приведенных выше уравнений и основного уравнения фильтрования (11.2) следует, что

где L — среднее сопротивление фильтра.

б) Мицелий образует сжимаемш осадки, поэтому при изменении параметра фильтрования τ меняется и v. В данных условиях фильтрования это изменение описывается уравнениями

или

Найдите уравнения, описывающие зависимость удельного сопротивления осадка на фильтре r от модифицированного времени фильтрования т, для каждого типа зависимости v(τ).

в) В уравнениях предыдущей задачи используются переменные, имеющие определенную размерность. Для практических целей, удобнее уравнения, выраженные с помощью безразмерных переменных. Переведите уравнения, описывающие τ и r, в безразмерную форму.

Такие уравнения можно применить при проектировании фильтров, а также при расчете детекторов для определения концентрации биомассы in situ (см. следующее упражнение). (Nestaas Е., PhD thesis, MIT, 1980.)

11.6. Фильтрующий детектор для определения концентрации биомассы. В упражнении 11.5 приведено модифицированное уравнение (11.2), описывающее процесс фильтрования сжимаемого мицелия. Разработан детектор для неавтономного определения концентрации биомассы in situ; принцип действия детектора заключается в измерении времени, необходимого для заполнения небольшого сосуда определенного объема, расположенного непосредственно над фильтром. Момент заполнения сосуда регистрируется, когда световой луч прерывает граница раздела фаз осадок — среда; таким путем определяют t_F и V_F(t_F).

а) Покажите, что концентрация биомассы в среде определяется уравнением x=1000 V_C/[v(V_C+V_F)].

б) Объясните, как можно определить х, если с помощью описанного детектора измерено одно значение t_F и одно значение V_F(t_F) для данного фиксированного объема пробы.

При эксплуатации биореактора x: определяют путем однократного измерения t_F, V_F, V_C. Затем фильтр промывают обратным потоком, смещая осадок, после чего детектор готов к следующему измерению (извлекать осадок не обязательно). [Из работы: Thomas D. С., Chifter V. К., Cagney J. W., Lim Н. С. Biotech. Bioeng., 27, 729 (1985).]

11.7. Гомогенизатор высокого давления. Даннилл и Лилли (Dunnill, Lilly, Protein Extraction from Microbial Cells, in Single Cell Protein II, Tannenbaum S., Wang D. I. C. (eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., 1975) показали, что выход белков при пропускании суспензии клеток пекарских дрожжей через небольшой объем (гомогенизатор) при большом перепаде давления описывается уравнением

где K — константа скорости процесса первого порядка; N — число пропусканий через гомогенизатор; R_m — максимальный выход белков; R — выход белков после N пропусканий через гомогенизатор; K=xp^α где х и α зависят от штамма микроорганизма, а p — рабочее давление.

а) Покажите, что уравнение скорости процесса первого порядка приводит к указанному выражению, если N рассматривать как непрерывную переменную.

б) Покажите, что на кривой зависимости Q (выход белка в процентах, отнесенный к киловатту расходуемой мощности) от давления имеется максимум, если расход мощности на одно пропускание W пропорционален рабочему давлению p.

в) Вычислите х, и W/p и рассчитайте профили зависимости q от p при N=1, 2 для пекарских дрожжей, если α=2,9, а Q достигает максимума (7,0) при p=570 кг/см² и N=1.

11.8. Экстракция с химической реакцией. Экстракцию неустойчивого соединения можно ускорить, если к растворителю добавить агент, обратимо связывающий экстрагируемое вещество. Так, для связывания пенициллина можно использовать растворимые в органических растворителях амины

а) Обсудите принципиальное сходство этого процесса с процессом сопряженного транспорта (гл. 5), например с транспортом кислорода в красные кровяные тельца путем образования комплекса с гемоглобином.

Полный анализ массопереноса в сочетании с химической реакцией может быть очень сложен. Экстракция в сочетании с химической реакцией может способствовать ускорению реакции двумя путями: во-первых, за счет повышения скорости экстракции и, во-вторых, за счет изменения коэффициента распределения в сторону большей равновесной концентрации в органической фазе. Анализ каждого из этих факторов в отдельности как ограничивающих скорость экстракции не представляет затруднений.

б) Рассмотрим следующие элементарные стадии, приводящие к повышению скорости экстракции пенициллина (P):

(продукт деградации)

(массоперенос к границе раздела фаз)

(перенос в органическую фазу)

(экстракция в органическую фазу в сочетаниис химической реакцией)

Запишите уравнения для dp/dt и dp_s/dt. Приняв приближение псевдостационарного состояния по отношению к промежуточному соединению P_s (p_s — концентрация Ps на границе раздела фаз), покажите, что частное от деления результирующей скорости переноса P к границе раздела фаз на скорость деградации P определяется уравнением

Начертите график зависимости этой функции от концентрации амина [A]. Чему будет равно отношение скоростей переноса и деградации при обычной экстракции ([A]=0) и в тех случаях, когда преобладает экстракция в сочетании с химической реакцией ([A] велико)?

в) При равновесном повышении эффективности экстракции достаточно рассмотреть элементарные стадии

Покажите, что при данных объемах водной и органической фаз (V_a и V_o соответственно) отношение общей концентрации пенициллина в водной фазе к общей концентрации пенициллина в органической фазе в состоянии равновесия описывается выражением (V_a/V_o)/K_a(1+K_R[A]). Начертите график зависимости этой функции от [A].

Параметры скоростей деградации и равновесные константы распределения пенициллина в присутствии различных реагентов приведены в работе; Reschke М., Schiigerl К-, Chem. Eng. J., 28, Bl, Bll (1984).

11.9. Выделение виутриклеточиого и внеклеточного продуктов. Для нерастущих клеток изменение концентраций внутриклеточного и внеклеточного продуктов во времени можно описать такими уравнениями

а) Начертите графики этих функций.

б) Объясните приведенные выше уравнения, исходя из известных функций микроорганизмов.

в) При каких обстоятельствах вы стали бы проектировать процесс выделения внутриклеточного продукта, а при каких — внеклеточного?

г) Какие пути совершенствования биокатализаторов вы могли бы рекомендовать для получения внутриклеточного и внеклеточного продуктов?

д) Набросайте схемы процессов получения внутриклеточного и внеклеточного продуктов; укажите основные операции получения выделяемого экстракцией кристаллического продукта и (в качестве побочного продукта) сухой биомассы.

11.10. Выделение антибиотика из цельного бульона. Высокая эффективность адсорбции антибиотика (и, возможно, других растворенных веществ) приводит к следующему выражению для коэффициента скорости зависящего от адсорбции массопереноса k [общая форма дана в уравнении (11.34)];

а) Рассмотрим смеситель, состоящий из одного резервуара, в который непрерывно добавляют и из которого непрерывно отбирают содержащий антибиотик бульон и смолу. В такой ситуации движущей силой процесса является постоянная разность концентраций c—c*, а в уравнении (11.33) время следует заменить на время удерживания смолы τ. Для случая одного резервуара аналитическим путем, т. е. интегрированием уравнения (11.33), найдите зависимость τ=fcn(q). (Для этой цели проще всего воспользоваться соотношением dq/dτ=(dτ/dq)-1, т. е. принять, что τ является зависимой переменной. Тогда интегрирование методом разложения на элементарные дроби не представит затруднений.)

б) В периодическом режиме ионообменную смолу и бульон вводят в резервуар одновременно, так что операция смешения описывается уравнением

(1)

а зависимость c* от времени выражается уравнением c* = bq^a [уравнение (11.35)]. Повторив решение предыдущей задачи, исходя из уравнений (1) и (11.35), найдите необходимое время t путем интегрирования функции адсорбции q.

в) Линейные уравнения, описывающие простые переходные состояния,

часто легко решить с помощью преобразования Лапласа. Можно ли решить таким путем систему уравнений (11.32) — (11.35) для многостадийного противоточного процесса? Почему (нет)? [См. статью: Belter Р. А., Cunningham F. L., Chen J. W., Development of a Recovery Process for Novobiocin; Biotech. Bioeng., 15, 533 (1973).]

11.11. Разделение в капиллярах. В бумажной и тонкослойной хроматографии скорость подвижной фазы изменяется во времени. Перепад давления, обусловленный движущейся в капиллярах бумаги границей раздела подвижной и неподвижной фаз, описывается уравнением Δp=4σcos(θ)/d_c, где σ — поверхностное натяжение, d_c — диаметр капилляра, θ — угол контакта жидкой и твердой фаз. Вязкое сопротивление скорости потока m пропорционально μ_Z (произведению вязкости на длину капилляра, заполненного жидкой фазой) и обратно пропорционально поперечному сечению капилляра (∞d_c²).

а) Покажите, что z² (z — положение фронта растворителя) пропорционально t если m пропорционально dz/dt.

б) Покажите, что та же зависимость z от t характерна и для расстояния между двумя пиками растворенных веществ.

в) Чтобы более реально описать хроматографический процесс, предположим, что частота распределения диаметров капилляров d определяется уравнением N(d) = Aexp[—(d—d_m)²], где d_m — диаметр, встречающийся чаще других. Найдите выражение, описывающее зависимость относительного содержания воды в капиллярном носителе от времени и расстояния.

г) Найдите выражение, описывающее кажущееся расстояние между пиками двух растворенных веществ; другими дисперсионными эффектами можно пренебречь.

11.12. Хроматография. В хроматографии каждое растворенное вещество характеризуется равновесным коэффициентом распределения K_i=s_i/c_i, где s_i и c_i — концентрации вещества i в неподвижной и подвижной фазах соответственно. Покажите, что если проба (смесь веществ) в момент нанесения занимает объем колонки высотой d, причем проба должна быть разделена на индивидуальные вещества так, чтобы расстояние между пиками было не менее d, то

а) Среднее время удерживания любого одного компонента і определяется уравнением

где u — скорость подвижной фазы и L — длина колонки.

б) Необходимая максимальная длина колонки определяется максимумом функции

в) В жидкостной хроматографии коэффициент диффузии сравнительно высокомолекулярных веществ имеет величину порядка 10^-6 cм²/c (табл. 11.5). С помощью уравнения Эйнштейна для среднеквадратичного расстояния, которое проходит молекула за время t, <z²>^1/2= (Dt)^1/2 покажите, что при скорости подвижной фазы, превышающей 10^-4 см/с, потребуется колонка большей длины, чем в задаче 11.126, если эта колонка наполнена частицами диаметром 10^{-2 см}.

г) Чарм н Вонг [Charm, Wong, An Immunosorbent Process for Removing Hepatitis Antigen from Blood and Plasma; Biotech. Bioeng., 16, 539 (1974)] с помощью аффинной хроматографии выделили антиген, специфичный по отношению к вирусам эпидемического гепатита, из большого объема плазмы крови. При таком высокоспецифичном разделении K_i→∞ (i — антиген), K_j≈0 (j≠i). Пусть колонка для аффинной хроматографии заполнена непористыми частицами радиусом R, а концентрация антигена составляет n частиц в 1 л; покажите, что в этих условиях максимальный объем плазмы крови, который можно очистить от антигена в единице объема колонки (без ее регенерации), определяется выражением

где ε— объем пустот в колонке, а r — радиус антигена.

11.13. Хроматография. По данным, приведенным на рис. 11.21 и в табл. 11.5, найдите значения L и r_g для трех хроматографических носителей, перечисленных на рис. 11.21.

11.14. Осаждение белков «высаливанием». а) Определите параметры β и K_s в уравнении растворимости [уравнение (11.7)] для каждого из белков, перечисленных на рис. 11.13.

б) Предложите методику фракционного осаждения, позволяющую разделить смесь представленных на этом рисунке белков на практически чистые белки.

в) Ионы, неэффективные при высаливании белков, эффективны в обратной операции — растворении полимеров. Так, растворы LiCNS способны растворять шелковые чулки! Прочтите в учебнике по физической химии главу, посвященную растворению полимеров в присутствии солей, и кратко обсудите явления, участвующие в «высаливании» и растворении белков.

11.15. Эффективность выделения ферментов. Предположим, что выход фермента на 4 стадии в примере 11.1 составляет 50%. Вычислите долю начального количества фермента, выделяемого на последней стадии.

11.16. Емкость иммуносорбентов. Сообщалось, что связывающая способность C некоторых колонок с иммуносорбентом снижается по мере увеличения числа циклов адсорбция — элюирование (n) в соответствии с уравнением

C(п)=С(0)е^-αn(п>0).

а) Покажите, что общее количество белка, которое можно выделить за N циклов, составляет

б) Если α мало, то указанную выше зависимость можно приближенно описать выражением

Покажите, что общее количество белка, которое можно выделить на колонке, равно C(0)/α.

в) Как вы определите максимальное число циклов, которые с экономической точки зрения целесообразно осуществлять на данной колонке?

11.17. Рециркуляция компонента питательных веществ с ингибиторными свойствами. Рециркуляция воды или биомассы сопровождается рециркуляцией растворенных веществ; некоторые из них могут обладать ингибиторными свойствами. Предположим, что ингибитор I влияет на удельную скорость клеточного роста согласно уравнению

а) Рассмотрим простой реактор с рециркуляцией (рис. 9.4), в котором концентрация растворенного ингибитора i_f<<K_i. Покажите, что в этом случае рециркуляция не влияет на концентрацию I в реакторе.

б) Теперь предположим, что основной продукт (например, этанол) и вода непрерывно отгоняются и что ингибитор I нелетуч. Какое максимальное отношение рециркуляции F_r/F₀ можно допустить, чтобы μ(і)/μ(i=0) не было меньше 0,95? [Пример. В производстве этанола некоторые растворенные в тростниково-сахарной мелассе соли являются ингибиторами по отношению к Sacchar omyces cerevisiae-, см. работу Maiorella В. L., Blanch Н. W., Wilke C. R., Biotech. Bioeng., 26, 1155 (1984).]

в) Пусть ингибитор I продуцируется биомассой со скоростью nx. Найдите выражение, позволяющее определить (F_r/F₀)_max через n, α. (отношение обогащения клеток в сепараторе) и минимально допустимое значение μ(і)/μ(i=0)).

11.18. Кинетика реакции, катализируемой иммобилизованным субтилизином, в двухфазной системе с регенерацией. Оптически активные D-арилглицины, применяемые в качестве ацилирующих агентов в производстве полусинтетических пеницнллинов и цефалоспоринов, можно получать из соответствующих рацемических соединений с помощью иммобилизованной протеазы (субтилизина). В условиях реакции рацемические вещества-предшественники растворяют в органической фазе, которую затем смешивают с приготовленной заранее суспензией иммобилизованного фермента в воде. Ограниченно растворимое исходное вещество легко переходит в водную фазу и там превращается в соответствующую кислоту. Скорость реакции легко контролировать методом титрования основанием.

Условия: 143,3 ммоль метилового эфира DL-2-ацетамидофенилуксусной кислоты растворены в 250 мл метилизобутнлкетона. Добавлена суспензия иммобилизованного катализатора в 250 мл воды.

Титрование основанием:

а) Какому уравнению скорости реакции, по вашему мнению, соответствуют эти данные?

б) При использовании дорогостоящего исходного вещества очень важен выход оптически активного соединения. Так, весьма существенно определить время, необходимое для 90 и 95%-ного превращения субстрата. Можно ли получить такую информацию на базе приведенных выше данных?

в) Набросайте схему непрерывного технологического процесса, включающего операции эффективного гидролиза рацемического соединения, выделения оптически активного продукта кристаллизацией из воды, рециркуляцию органического растворителя и его регенерацию отгонкой из раствора негидролизованного исходного вещества (которое затем необходимо подвергнуть рацемизации). Какое основное оборудование требуется для осуществления собственно реакции и операций выделения? [См. работу; Schutt Н. et al., Biotech. Bioeng., 27, 420 (1985).]

11.19. Аффинная хроматография клеток. Костный мозг содержит стволовые кроветворные клетки и зрелые Т-лимфоциты. Первые можно успешно трансплантировать пациенту с нарушенной функцией костного мозга с тем, чтобы резко повысить число здоровых клеток и восстановить функции мозга. Напротив, Т-лимфоциты могут принять клетки организма-хозяина за «чужеродные» и инициировать опасную реакцию против тканей человека, которому был пересажен костный мозг. Поскольку на поверхности лейкоцитов имеются специфические связывающие лектин рецепторы, то для отделения Т-лимфоцитов от популяции клеток костного мозга можно использовать колонки с иммобилизованным лектином.

а) Оказалось, что адсорбция клеток зависит от скорости потока, которая определяет частоту соударений клеток с частицами адсорбента v_p и среднее время пребывания клетки τ_p (в отсутствие связывания). Пусть v_p пропорционально u^α, а τ_p пропорционально u^-β (α, β>0). Покажите, что в такой ситуации концентрация клеток θ_c в адсорбенте в стационарном состоянии пропорциональна u^α-β.

б) Предполагается, что адсорбция клеток зависит от критического числа связей типа клетка — неподвижная фаза, образующихся за время (τ) пребывания клеток на поверхности частиц неподвижной фазы. Предположим, что связи B образуются за счет лектиновых центров L и клеточных центров S согласно уравнению

где , а на поверхности контакта клетка — неподвижная фаза имеется N_LO и N_SO независимых диффундирующих центров каждого типа.

I) Найдите выражение, описывающее число связей b* в состоянии равновесия.

II) Интегрированием уравнения скорости реакции db/dt (методом разложения на элементарные дроби) найдите зависимость b(t) от t.

III) Пусть b_cric(<b*) —число связей, необходимых для необратимого связывания клетки Т-лимфоцита с поверхностью частиц неподвижной фазы.. Найдите выражение, которое устанавливает зависимость между bent и максимальной скоростью подвижной фазы, приводящей к связыванию клеток. [См. работу; Hertz С. М. et al., Biotech. Bioeng., 27, 603 (1985).]

11.20. Мембраны и искусственные органы. Для создания искусственных имплантируемых органов предлагалось использовать микрокапсулирование клеток млекопитающих или их включение в полые волокна. Поры мембраны должны пропускать в окружение микрокапсул или волокон необходимые полипептиды или белки и в то же время задерживать другие белки, способные вызвать реакцию отторжения организма-хозяина.

а) Оцените необходимый средний диаметр пор мембраны, если мембрана должна пропускать в окружение инсулин или гормон роста человека.

б) Включенные в капсулу или в полые волокна клетки снабжаются питательными веществами за счет организма-хозяина. Эти питательные вещества должны диффундировать к иммобилизованным клеткам в таком количестве, чтобы в идеальном варианте обеспечивать и метаболизм поддержания, и образование продукта. Приняв, что коэффициент молекулярной диффузии кислорода D_O2 равен приблизительно 10^-6 см²/с, оцените радиус частицы с иммобилизованными клетками, при котором модуль Тила процесса нулевого порядка будет равен единице для случая: а) иммобилизованных растущих дрожжей (t_D==2 ч); б) иммобилизованных дрожжей в состоянии покоя (потребность в O₂ на метаболизм поддержания составляет 3% потребности растущих клеток); в) иммобилизованных растущих животных клеток (t_D=40 ч); г) иммобилизованных животных клеток в состоянии покоя (потребность в O₂ на метаболизм поддержания составляет 10% потребности растущих клеток). Можно ли иммобилизовать покоящиеся клетки млекопитающих диаметром 10 мкм в микросферах диаметром 0,1, 0,5 и 2 мм?