Повторные измерения

Структура исходных данных соответствует ситуации, когда одна выборка объектов классифицирована на две группы дважды по одному и тому же осно­ванию. Рассмотрим проверку гипотезы в отношении таких данных на примере.

ПРИМЕР 9,6___________________________________________________________

Исследовалось влияние убедительной лекции о введении моратория на смертную казнь. Число респондентов 7V= 60. Подсчитывалось число тех, кто «за», и тех, кто «против» смертной казни до и после лекции. Одна переменная — «до лекции» («за», «против»), другая — «после лекции» («за», «против»).

Для таких данных х2-Пирсона с поправкой на непрерывность не применим!

1 См. там же.

В таблице исходных данных в таких случаях каждой строке (объекту вы­борки) соответствуют два значения (в двух столбцах — «до», «после») одной и той же бинарной номинативной переменной («за», «против»). Таблица сопря­женности для таких данных (например, построенная при помощи компью­терной программы):

ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Действительно, применяя этот метод, мы будем проверять гипотезу о связи класси­фикации ответов до лекции с классификацией ответов после лекции, а нас интере­сует влияние лекции («до» — «после») на распределение ответов («за» — «против»). Тем не менее, попробуем применить %²-Пирсона с поправкой на непрерывность к этой таблице. Получим: xl =0,93, df— 1,/?>0,1-

В подобных случаях применяется метод Мак-Нимара. Этот метод позво­ляет сопоставить долю тех, кто не обладал некоторой характеристикой (0) до воздействия, но стал обладать ею после воздействия (1), с долей тех, кто обла­дал этой характеристикой до воздействия (1) и перестал обладать ею после воздействия (0). Иначе говоря, метод позволяет сопоставить диагональные элементы таблицы сопряженности 2x2 (0,1 и 1,0 или 0,0 и 1,1), построенной непосредственно по дважды проведенной дихотомической классификации одной и той же выборки. Речь идет о таблице 2x2, построенной непосред­ственно по результатам дихотомической классификации двух зависимых вы­борок (одной и той же выборки — дважды):

 

Метод Мак-Нимара позволяет по этой таблице проверить две гипотезы: о соотношении а и ^/(0,1 и 1,0); о соотношении си b (0,0 и 1,1).

Проверка гипотезы проводится по г-критерию по формулам для эмпири-

ческого значения

(9.5)

где с и Ъ — одна пара диагональных элементов таблицы, для проверки одной гипотезы; а и d — другая пара диагональных элементов, для проверки другой гипотезы. Для определения р-уровня значимости эмпирическое значение z₃ сравнивается с теоретическим — единичным нормальным распределением.

Ограничение на применение метода Мак-Нимара: сумма сравниваемых ча­стот не должна быть меньше 10.

ПРИМЕР 9.6 (продолжение)

Рассмотрим применение метода Мак-Нимара на примере проверки содержатель­ной гипотезы о влиянии лекции на мнение респондентов (данные примера 9.6).

Ш а г 1. Построение таблицы 2x2.

 

 

 

	До:
«За»	«Против»
После:	«За»	а — 16	Ь= 10
«Против»	с-26	d=%

¹ Данная реализация метода заимствована из: Гласе Дж., Стенли Дж. Статистические мето­ды в педагогике и психологии. М., 1976. В программе SPSS используется критерий х²-

ГЛАВА 9. АНАЛИЗ НОМИНАТИВНЫХ ДАННЫХ

Ш а г 2. Формулировка статистической гипотезы.

Проверим Н_о: с = b (ненаправленная гипотеза), при а = 0,05.

Отметим, что проверка гипотезы относительно других диагональных элементов

(Н_о: a =d) в данном случае не имеет смысла.

Шаг 3, Вычисление эмпирического значения критерия.

с-Ь 26-10

Ш а г 4. Определение /ьуровня (приложение 1).

Воспользуемся таблицей единичного нормального распределения:

а) находим в таблице теоретическое значение z, ближайшее меньшее к абсолютно­
му (без учета знака) эмпирическому значению г_э: Z_T ~ 2,65;

б) определяем площадь под кривой справа от z?- P⁼ 0,004;

в) вычисляем/^-уровень по формуле/) < 2Р: р < 0,008.

Ш а г 5. Принятие статистического решения и статистический вывод. На уровне а = 0,05 гипотеза Н_ц отклоняется. Содержательный вывод: доля лиц, выступающих против смертной казни после лекции статистически значимо уве­личилась (z = 2,67; р < 0,008).

Обработка на компьютере: таблицы сопряженности (кросстабуляции)

Последовательность шагов не зависит от количества градаций и зависимо­сти выборок. Указанные обстоятельства влияют только на то, какие из резуль­татов следует принимать во внимание.

Исходные данные: значения двух номинативных переменных (2 и более гра­дации), с одинаковым или разным числом градаций, определены на одной выборке объектов и представлены двумя столбцами — по одному для каждой из переменных.

Выбираем: Analyze(Метод) > Descriptive Statistics(Описательные статисти­ки) > Crosstabs...(Таблицы сопряженности). В открывшемся окне диалога пе­реносим одну из переменных справа в окно Строки (Row(s)), другую — в окно Столбцы (Column(s)),нажимаем кнопку Статистики (Statistics...).

Решаем: Если выборки независимые (без повторных классификаций), вы­бираем у}, отмечая его «флажком» (Chi-square).Если выборки зависимые: одна и та же номинативная переменная (2 градации) измерена дважды на данной выборке, то выбираем метод Мак-Нимара, отмечая его «флажком» (McNemar).Нажимаем (Continue).Нажимаем ОК.

Результаты

A) Сводка по обработанным объектам (Case Processing Summary) — сколь­
ко обработано (Valid), сколько пропущено (Missing), сколько всего (Total).

Б) Таблица сопряженности (Crosstabulation).

B) Таблица статистических результатов (Chi-Square Tests):

ЧАСТЬ 11. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

□ эмпирические значения критериев (Value);

П двусторонний /ьуровень для х²-Пирсона без поправки (с поправкой) на непрерывность (Pearson Chi-Square (Continuity Correction) — Asymp. Sig. (2-sided));

□ односторонний /^-уровень для направленных гипотез по Фишеру
(Fisher's Exact Test — Exact Sig. (1-sided));

О двусторонний /^-уровень для критерия Мак-Нимара (McNemar Test — Exact Sig. (2-sided)).

Примечание. Если обрабатываются таблицы 2x2 с независимыми клас­сификациями, то при проверке направленных гипотез значение ^-уровня для //-Пирсона (Pearson Chi-Square — Asymp. Sig. (2-sided)) делится на два, либо берется односторонний/^-уровень (Exact Sig. (I-sided)) для точного критерия Фишера (Fisher's Exact Test).

АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: КРИТЕРИЙ СЕРИЙ

Как следует из названия, метод применяется для анализа последователь­ности объектов (явлений, событий), упорядоченных во времени или в порядке возрастания (убывания) значений измеренного признака. Кроме того, метод требует представления последовательности в виде бинарной переменной — как чередования событий 0 и 1. Поэтому исходные донные, как правило, требуют преобразования: упорядочивания (по времени или по уровню) и приведения к би­нарному виду.

Математическая идея критерия основана на подсчете числа серий в упо­рядоченной последовательности событий двух типов, например, 0 и 1. Се­рия — это последовательность однотипных событий, непосредственно перед и после которой произошли события другого типа. Гипотеза Н_о о случайном распределении событий 1 среди событий 0 может быть отклонена, если коли­чество серий либо слишком мало, либо слишком велико.

ПРИМЕР 9,7___________________________________________________________

Предположим, было получено две последовательности успехов (1) и неудач (0) для двух игроков. Каждый из них играл 20 раз с равным количеством выигрышей (п = 10) и проигрышей (т = 10): п + т = 20.

Игрок № 1: 100000000111111011! 0 —число серий W= 6 Игрок №2: 01010010101011010011- число серий W= 16 В отношении первого игрока Н_о будет отклонена, если число серий слишком мало, а в отношении второго игрока — если число серий слишком велико. При отклоне­нии Н_о для первого игрока может быть сделан вывод о том, что достоверно чаще после успеха следует успех, а после проигрыша — проигрыш, а для второго игрока, что после проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, и наоборот.

ГЛАВА 9. АНАЛИЗ НОМИНАТИВНЫХ ДАННЫХ

Проблема направленности гипотезы Н_о должна решаться еще до проведе­ния исследования. Понятно, что исследователя может интересовать любое отклонение от Н_о — как в сторону слишком малого, так и слишком большого числа серий W, Тогда необходима проверка ненаправленной гипотезы. Если же исследователя интересуют только малые значения Жили только слишком большие значения W, то необходима проверка направленной гипотезы. Важ­ность предварительного определения направленности гипотезы обусловлена тем, что при одном и том же числе серий Wр-уровень для направленной гипотезы будет в два раза меньше, чем для ненаправленной гипотезы. Любые сомнения в направленности гипотезы необходимо решать в пользу выбора ненаправлен­ной альтернативы.

Предположим, что для исследователя, получившего данные из примера 9.7, зара­нее не было известно, какая альтернатива будет приниматься в случае отклонения Н_о. Следовательно, должна проверяться ненаправленная Н_о, допускающая откло­нение Н_о как в случае слишком малого, так и в случае слишком большого числа серий W.

Точное распределение числа серий Жпри выполнении Н_о, следовательно, и точное значение р-уровня значимости для конкретного ^(при конкретных значениях тип) может быть получено с помощью комбинаторного анализа, например, при помощи компьютера.

При вычислениях на компьютере точное значение /j-уровня может быть вычислено при выборе опции Exact... (Точно...) в диалоге анализа Runs... (Серии...) с последу­ющим заданием метода Monte Carlo. Так, для примера 9.7 точные значения^-уров-ня (для ненаправленных Н_о, двусторонние): для игрока № 1 р = 0,035; для игрока

Если численность т{п) < 20, то для проверки Н_о применяются таблицы кри­тических значений для числа серий (приложение 5).

ПРИМЕР 9.7 (продолжение)_______________________________________________

Проверим ненаправленную Н_о в отношении двух игроков с использованием таб­лицы критических значений числа серий для а = 0,05 (приложение 5). Для этого достаточно соотнести эмпирическое значение числа серий с табличными значе­ниями (нижним Жо 025^и верхним ¥₀ 0975). Если эмпирическое значение меньше или равно 1^0025 ^или больше или равно ¥_0(>975, ^T0 Но отклоняется.

Шаг 1. Принимаем статистические решения. Для т= 10, п= 10: И^з^б; Н^ ₀₉₇5 — 16. Для игрока №1: (С_э = 6, Н_о отклоняется. Для игрока № 2: W₃ - 16, Н_о отклоняется.

Шаг 2. Формулируем содержательные выводы. Для игрока № 1: достоверно чаще после успеха следует успех, а после проигрыша — проигрыш (р< 0,05). Для игрока № 2: по­сле проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, а после выигрыша — проигрыш.

Альтернативным способом определения р-уровня является применение Z-критерия серий, основанного на том факте, что число серий Wпри выпол-

ЧАСТЬ П. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

нении Н_о распределено приблизительно нормально с известными M_w и a_w. Формула для определения эмпирического значения Z-критерия серий¹:

 

Ограничение на применение Z-критерия серий: т > 20, п > 20; т и п несуще­ственно различаются. Если тип существенно различаются, то следует восполь­зоваться комбинаторным методом (например, Монте Карло в программе SPSS).

ПРИМЕР9.8____________________________________________________________

Предположим, исследуется динамика научения в игровом задании. Исследователь предполагает частые повторы проигрышей в начале и выигрышей — в конце пос­ледовательности игр (предполагается проверка направленной гипотезы). Игроком сыграно 40 партий, из них проиграно 20, выиграно 20, число серий 15. К концу последовательности игр наблюдается преобладание выигрышей. Проверим гипо­тезу с применением Z-критерия серий.

Шаг 1. Формулируем Н_о: число серий соответствует случайному распределению выигрышей в последовательности проигрышей (альтернативная Н,: число серий достаточно мало, чтобы говорить о неслучайном преобладании выигрышей в конце последовательности игр). Принимаем а = 0,05.

Ш а г 2. Вычислим эмпирическое значение Z-критерия для т = 20; п = 20; И^ =15:

M_w= + 2nm/(n+m)=2;

Ш а г З. Определим/ьуровень. Для этого воспользуемся таблицей стандартных нор­мальных вероятностей (приложение 1). При использовании Z-распределения для проверки направленной гипотезыр-уровень равен площади Рпод нормальной кри­вой справа от +Z, (слева от -Z,). Z, = 1,76 соответствует площадь Р= 0,039. Следо­вательно, р < 0,04.

Ш а г 4. Принимаем статистическое решение и формулируем содержательный вы­вод. Отклоняем Н_о: число серий статистически значимо мало. Содержательный вы­вод: к концу последовательности игр статистически достоверно возрастает частота выигрышей (р < 0,04).

Отметим, что если бы проверялась ненаправленная гипотеза, то найденное значе­ние вероятности Р = 0,039 следовало бы умножить на 2: р < 2Р. Следовательно, р < 0,078, и Н_о на уровне а = 0,05 не отклоняется.

Критерий серий применим для решения двух классов задач. Помимо ис­следования временной последовательности событий Хи Y, или динамики из­менения количественного признака, метод может применяться и для провер-

¹ По Ллойду Э., Ледерману У, с. 131. 144

ГЛАВА 9. АНАЛИЗ НОМИНАТИВНЫХ ДАННЫХ

ки гипотез о различии между двумя выборками по уровню и изменчивости признака, измеренного в количественной шкале. В связи с этим применение метода требует решения проблемы преобразования исходных данных.

Проблема преобразования исходных данных. Как было отмечено, для приме­нения метода данные необходимо представить в виде одной бинарной пере­менной. В зависимости от задачи исследования и вида исходных данных это может быть сделано разными способами.

1. Если изучается динамика изменчивости количественного признака, то
после упорядочивания значений признака в соответствии с временной после­
довательностью выбирается один из способов перехода к бинарной шкале. Для
метрических данных точкой деления (Cut point) обычно выступает среднее, а
для ранговых данных — медиана. Значениям ниже точки деления присваива­
ется 0, а значениям выше нее — 1. После такого преобразования возможно
применение к переменной критерия серий.

2. Если изучается различие между выборками по уровню и (или) изменчи­
вости количественного признака, то сначала объекты упорядочиваются по
уровню выраженности изучаемой переменной. Затем объектам одной выбор­
ки присваивается 0, а объектам другой — 1. Критерий серий применяется к
полученной таким образом последовательности нулей и единиц. Преимуще­
ство критерия серий, по сравнению с другими методами сравнения выборок,
проявляется в том, что он позволяет выявить не только уровневые различия
(в этом его чувствительность не очень высока), но и соотношение распреде­
лений. Например, одно распределение может быть более компактным, чем
другое.

Обработка на компьютере: анализ последовательности

Исходные данные: изучаемый признак (столбец) представляет собой упоря­доченную последовательность значений (по времени или по уровню выражен­ности). Если это последовательность во времени, то допустимы количествен­ные значения. Если значения не количественные, то они должны представлять собой последовательность 0 и 1.

Выбираем: Analyze(Метод) > Nonparametric tests...(Непараметрические ме­тоды) > Runs...(Серии). В открывшемся окне диалога переносим необходи­мую переменную из левого вправое окно (Test Variable List),переменных мо­жет быть несколько.

Решаем: Выбираем точку деления (Cut point).Если переменная бинарная (0,1), то ставим флажок только в окошко Пользовательская и задаем «1» (Custom: 1).Если переменная количественная, то выбираем либо медиану (Median),либо среднее (Mean).Здесь же можем выбрать расчет точного зна­чения /ьуровня: нажимаем Exact...(Точно...) и отмечаем Monte Carlo.Нажи­маем Continue.Нажимаем ОК.

ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Результаты:

□ Заданная точка деления (Test Value).

□ Количество объектов ниже (выше) точки деления (Cases <(>=) Test
Value).

□ Общее число объектов (Total Cases).

□ Число серий (Number of Runs).

□ Z-значение (Z).

□ Приблизительное значение двустороннего р-уровня (Asymp. Sig. (2-tiled)).
О Точное значение двустороннего р-уровня (Monte Carlo Sig. (2-tiled)).

Примечание. Если проверяется направленная гипотеза, то значение р-уровня делится на 2.

Глава 10