Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками - Лекция, раздел Электроника, Тепловое излучение
Рассмотрим Частицу, Находящуюся В Бесконечно Глубокой Одномер...
Рассмотрим частицу, находящуюся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Будем считать, что частица может двигаться только в направлении оси ОХ. Стенки ямы бесконечно высокие и представляют собой параллельные плоскости (рис.5.1). Такую прямоугольную яму называем ящиком. Она является упрощенной моделью атома водорода, в котором движется электрон. Потенциальная энергия частицы
в ящике равна нулю, а за пределами
ящика . Уравнение Шредингера Шредингера для такой частицы имеет вид:
.
B ящике U=0, поэтому .
Обозначим
. (5.1)
Тогда
.
Это известное из теории колебаний уравнение синусоидальной волны, причем k , определяемое уравнением (1) – волновое число. Решение этого уравнения имеет вид:
. (5.2)
При решении уравнения Шредингера должны выполняться граничные условия:
- так как стенки ящика бесконечно высокие, то вероятность обнаружить частицу за пределами ящика равна нулю =0. Однако - непрерывная функция, следовательно, на границах ящика также должна обращаться в ноль: , тогда и ; на правой границе ящика , поэтому n=1, 2…. Отсюда
. (5.3)
При n=0 и - вероятность обнаружить частицу хотя бы в какой-то точке пространства равна нулю, т.е. частица нигде не находится. Такого быть не может, поэтому значение п=0 лишено физического смысла..
Условие (5.3) означает что волновое число k может принимать только некоторые разрешенные значения в зависимости от целого числа п , т.е. квантуется. Из условия (5.3) также следует, что по дну ящика должно укладываться целое число полуволн де Бройля, что совпадает с условием возникновения стоячих волн в струне.
Действительно, подставим в уравнение (5.3), имеем:
; и .
Пусть частица летит к стенке ящика (рис.5.2). Справа от стенки происходит наложение двух волн де Бройля, соответствующих частице – прямой и отраженной, распространяющихся в противоположных направлениях. Стенка абсолютно отражающая, поэтому амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, и в ящике образуется стоячая волна.
Импульс частицы равен , тогда согласно (5.3) имеем:
- импульс частицы в ящике принимает дискретные значения в соответствии с целым числом п, т.е. квантуется.
Подставим (5.3) в (5.1) , имеем:
, n=1,2… (5.4)
- энергия частицы в ящике принимает ряд дискретных значений (квантуется).
В теории колебаний доказывается, что уравнение Шредингера имеет решение не при любых значениях энергии, а лишь при избранных, которые называются собственными значениями энергии. Выражение (5.4) как раз и определяет эти значения. Каждой такой энергии отвечает стационарное состояние системы, т.е. такое, в котором распределение вероятностей обнаружить частицу не меняется. Решения, соответствующие собственным значениям , называются собственными функциями задачи. Наименьшее значение энергии достигается при n=1:
.
Это энергия основного состояния. В квантовой механике частица не может иметь энергию, меньшую . С ростом n энергия растет. Вычислим расстояние между энергетическими уровнями:
С ростом n расстояние между уровнями увеличивается (рис.5.3).
Для молекулы газа в сосуде ,энергетические уровни расположены так близко, что практически неразличимы, спектр можно считать сплошным.
Для свободного электрона и эВ. Для электрона в атоме , - дискретность уровней весьма заметна.
Подставив k из (5.3) в решение уравнения Шредингера (5.2), найдем собственные функции задачи:
Для определения амплитуды а воспользуемся условием нормировки:
На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в 0. Поэтому значение интеграла получим, умножив среднее значение на длину промежутка . Имеем: тогда собственные функции:
На рисунке 5.4 показаны зависимости и для частицы при n=1 и n=2. При n=1 вероятность обнаружить частицу в яме максимальная, а по краям ямы – равна нулю. При n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы, однако она одинаковое число раз бывает в левой и правой частях.
Электрон, заключенный в ящике, является лишь очень грубой моделью атома водорода. Реальная яма является трехмерной, электрон в атоме находится в поле кулоновских сил, поэтому стенки ямы имеют вид, представленный на рисунке 5.5. Однако поведение электрона в обеих ямах практически одинаково и описывается стоячей волной, которой соответствуют собственные значения энергии
Рассмотренная задача показывает, что движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы тем, что:
1) нельзя говорить о точном местонахождении частицы в яме, а можно говорить лишь о вероятности нахождения её в той или иной точке. Эта вероятность определяется величиной .
2) Энергия квантовой частицы квантуется, т.е. принимает ряд дискретных значений ….
Тепловое излучение
1.1.Закон Кирхгофа
Тепловое излучение – это испускание электромагнитных волн за счёт внутренней энергии тел. Тепловое излучение имеет место при любой температуре. При низких температурах о
Эффект Комптона
Комптон (1923) открыл явление, в котором можно было наблюдать, что фотону присущи энергия и импульс. Результаты этого опыта — еще одно убедительное подтверждение гипотезы Эйнштейна о квантовой п
Тормозное рентгеновское излучение
Если энергия кванта значительно превышает работу выхода А, то уравнение Эйнштейна принимает более простой в
Корпускулярно-волновой дуализм света
Эффект Комптона и фотоэффект подтверждает корпускулярную природу света. Свет ведет себя как поток частиц – фотонов. Тогда как же частица может обнаруживать свойства, присущие класси
Гипотеза де Бройля
В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой движение электрона, или какой-либо другой частицы, связано с волновым процессом. Длина волны этого процесса:
Свойства волн де Бройля
Рассмотрим движение свободного электрона. По де Бройлю, ему соответствует длина волны:
Лекция 5
3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3.1.Волновая функция
Всякая микрочастица – это образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Отличие микрочастицы от волн
Принцип неопределенности
В классической механике состояние частицы задают координатами, импульсом, энергией и т.п. Это динамические переменные. Микрочастицу описывать такими динамическими переменными нельзя. Особенность ми
Уравнение Шредингера
В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение. Это основное уравнение квантовой механики, основное предположение, на котором основана вся квантовая механика. Все вытекающие из этого уравнен
Ядерная модель атома
Любой атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки. Размеры ядра менее 10-12 см, размеры же самого атома, определяемые электронной оболочкой, поряд
Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца
Постулаты Бора. Абсолютная неустойчивость планетарной модели Резерфорда и вместе с тем удивительная закономерность атомных спектров, и в частности их дискретность, привели Н. Бора
Боровская модель атома водорода
Чтобы получить согласие с результатами наблюдений, Бор предположил, что электрон в атоме водорода движется только по тем круговым орбитам, для которых его момент импульса
M=nħ,
Тогда постоянная Ридберга
Как видим, постоянная Ридберга зависит и от массы ядра. Для атома водорода, ядром которого является прото
Четность, закон сохранения четности
Кроме однородности и изотропности, имеется еще один вид симметрии пространства. Соответствующую ему операцию нельзя свести к совокупности бесконечно малых преобразований координат. Это операция инв
Квантово -механическая модель атома водорода
Электрон в атоме водорода движется в поле кулоновской силы электростатического притяжения к ядру. Потенциальная энергия электрона выражается классической формулой:
Орбитальный магнитный момент электрона
Установим вид оператора магнитного момента движущейся заряженной микрочастицы, опираясь на критерии соответствия. Магнитный момент μ частицы, движущейся по круговой траектории, связан
Спин электрона
Эксперименты показали, что у электрона, кроме орбитального магнитного момента, есть ещё собственный магнитный момент, названный спиновым
Валентным электроном
Атомы щелочных металлов имеют один внешний электрон и заполненные внутренние оболочки. Этот внешний электрон движется в электрическом поле атомного остатка, т.е. ядра и заполненных электронных обол
Ширина спектральных линий
Из возбужденного состояния атом может спонтанно перейти в более низкое энергетическое состояние. Время τ, за которое число атомов, находящихся в данном возбужденном состоянии, уменьшает
Мультиплетность спектров
Спин-орбитальное взаимодействие
Исследования спектров щелочных металлов показали, что каждая линия этих спектров является двойной (дуплет). Структура спектра, от
Многоэлектронного атома
Каждый электрон в атоме обладает орбитальным моментом импульса и собственным (спиновым) моментом импульса
Магнитный момент атома
Итак, с механическим моментом атома М связан магнитный момент μ. Отношение называется гиромагни
Векторная модель атома
При построении такой модели механические и магнитные моменты атома изображаются в виде направленных отрезков. Строго говоря, вследствие неопределенности направлений векторов
Волновая функция системы микрочастиц
Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:
Ψ = Ψ(
Принцип Паули
В системе микрочастиц проявляются также физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной микрочастицы.
Квантовая система, состоящая из одинаковых час
Лекция 14
9.3. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева
В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Х
Многоэлектронные атомы
Рассмотрим, как меняются физико-химические свойства вещества с ростом их порядкового номера z.
z = 1 – атом водорода. Один электрон находится в состоянии с п = 1, энергия эле
Эффекты Зеемана и Штарка
Эффект Зеемана состоит в расщеплении спектральных линий и энергетических уровней во внешнем магнитном токе.
Спектральная линия с частотой
Рентгеновские спектры
Различают два вида рентгеновского излучения - тормозное и характеристическое.
Тормозное излучение получается при не слишком больших энергиях бомбардирующих атом электронов. Это излучение
Ионная и ковалентная связь. Молекула водорода. Обменный интеграл
Ограничимся рассмотрением только двухатомных молекул. Различают два вида связи между атомами в молекулах. Один из них осуществляется в том случае, когда электроны в молекуле можно разделить на две
Молекулярные спектры
Молекулярные спектры состоят из полос. Полосы состоят из большого числа тесно расположенных линий. Поэтому спектры молекул называют полосатыми. В зависимости от того, изменение каких видов энергии
Генераторы когерентного света
Слово лазер является аббревиатурой выражения “Light amplification by stimulated of radiation”, что означает “усиление света в результате индуцированного (вынужденного) излучения фотонов.
В
Принцип действия лазеров
Рассмотрим ансамбль, состоящий из N атомов в единице объема, на который действует электромагнитное излучение с частотой
Схемы накачки
Рассмотрим процессы получения в данной среде инверсной населенности. На первый взгляд может показаться, что инверсию можно создать при взаимодействии среды с достаточно мощной электромагнитной волн
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. Уравнение Шредингера Шредингера для такой частицы имеет вид: 
.
.
. (5.1)
.
. (5.2)
=0. Однако 
, тогда 
и 
; на правой границе ящика 
, поэтому 
n=1, 2…. Отсюда
. (5.3)
и 
- вероятность обнаружить частицу хотя бы в какой-то точке пространства равна нулю, т.е. частица нигде не находится. Такого быть не может, поэтому значение п=0 лишено физического смысла..
в уравнение (5.3), имеем:
; и 
.
Импульс частицы равен 
, тогда согласно (5.3) имеем:
, n=1,2… (5.4)
, а лишь при избранных, которые называются собственными значениями энергии. Выражение (5.4) как раз и определяет эти значения. Каждой такой энергии отвечает стационарное состояние системы, т.е. такое, в котором распределение вероятностей обнаружить частицу не меняется. Решения, соответствующие собственным значениям 
.
. С ростом n энергия растет. Вычислим расстояние между энергетическими уровнями:
С ростом n расстояние между уровнями увеличивается (рис.5.3).
,
энергетические уровни расположены так близко, что практически неразличимы, спектр можно считать сплошным.
и 
эВ. Для электрона в атоме 
, 
- дискретность уровней весьма заметна.
на длину промежутка 
. Имеем: 
тогда собственные функции:
На рисунке 5.4 показаны зависимости 
для частицы при n=1 и n=2. При n=1 вероятность обнаружить частицу в яме максимальная, а по краям ямы – равна нулю. При n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы, однако она одинаковое число раз бывает в левой и правой частях.
Рассмотренная задача показывает, что движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы тем, что:
.
…
.
Новости и инфо для студентов