Эффект Комптона

Комптон (1923) открыл явление, в кото­ром можно было наблюдать, что фотону присущи энергия и им­пульс. Результаты этого опыта — еще одно убедительное под­тверждение гипотезы Эйнштейна о квантовой природе самого электромагнитного излучения.

Комптон исследовал рассеяние жесткого рентгеновского из­лучения на образцах, состоящих из легких атомов, таких как графит, парафин и др. Схема его установки показана на рис. 1.14.

Источником рентгеновского излучения служила рентгенов­ская трубка с молибденовым антикатодом. Диафрагмы и D₂ выделяли узкий пучок монохромати­ческого рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О. Для исследования спектрального состава рассеянного излуче­ния оно после прохождения ряда диа­фрагм попадало на кристалл К рент­геновского спектрографа, а затем в счетчик С (или на фотопластинку).

Комптон обнаружил, что в рассе­янном излучении, наряду с исходной длиной волны λ, появля­ется смещенная линия с длиной волны . Это получило на­звание комптоновского смещения, а само явление — эффекта Комптона.

Опыт показал, что наблюдаемое комптоновское смещение не зависит от материала рассеивающего образца и длины волны λ падающего излучения, а определяется лишь углом между направлениями рассеянного и падающего излучений (см. рис. 1.14). С увеличением угла интенсивность смещенной компоненты растет, а несмещенной — падает. Это показано на рис.1.15, где представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния для так называемой К_a-линии молибдена, имеющей длину волны 0,071 нм. Слева показана форма линии исходного излучения (т. е. спектральное распределение интенсивности по длинам волн). Правее — то же самое для рассеянного излучения при различных углах рассеяния.

Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. Они были поняты только на основе квантовой теории. Комптон предположил, что рассеяние рентгеновского кванта с измене­нием длины волны надо рассматривать как результат одиночного акта столкновения его с электроном.

В атомах легких элементов, с которыми проводились опыты, энергия связи электрона с атомом мала по сравнению с энергией, передаваемой электрону рентгеновским квантом при столкновении. Это выполняется тем лучше, чем больше угол рассеяния. В легких атомах энергией связи электрона внутри атома можно пренебречь при всех углах рассеяния, т. е. все электроны можно считать свободными. Тогда одинаковость комптоновского смещения для всех веществ сразу стано­вится понятной. Действительно, ведь с самого начала предпо­лагается, что рассеивающее вещество по существу состоит толь­ко из свободных электронов, т. е. индивидуальные особенности совсем не учитываются. Но это допустимо только для легких атомов. Для внутренних электронов тяжелых атомов такое представление не годится, что и подтверждает опыт.

Теперь рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном с учетом того, что при этом должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской динамики.

Итак, свет, переносящий энергию , обладает импульсом и может вести себя подобно частице. При фотоэффекте этот импульс передается всему образцу металла и испускаемому из него электрону. Импульс, переданный металлу, очень мал и не может быть измерен, однако при столкновении фотона со свободным электроном величину передаваемого импульса можно измерить.

Найдем связь длины волны рассеянного фотона с углом рассеяния и длиной волны фотона до соударения. Пусть на первоначально покоившийся свободный электрон с энергией покоя падает фотон с энергией и импульсом ε/с. После столкновения энергия фотона станет равной , а энергия и импульс электрона отдачи E' и p'. Согласно законам сохране­ния энергии и импульса системы фотон-электрон, запишем до и после столкновения следующие равенства:

, (1.9)

, (1.10)

где второе равенство записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов (рис. 1.16).

Имея в виду, что связь между энергией и импульсом реляти­вистского электрона имеет вид

(1.11)

 

найдем из формулы (1.9) и из (1.10):

(1.12)

(1.13)

Вычтя в соответствии с (1.11) выражение (1.13) из (1.12) и приравняв полученный результат m²c⁴, получим после сокращений:

. (1.14)

Учитывая, что , и , получим:

, (1.15)

где λ_c — комптоновская длина волны частицы массы т,

. (1.16)

Для электрона _c=2,43·10^-10см. Универсальная постоянная λ_c является одной из важнейших атомных констант. Соотношение (1.15) очень хорошо согласуется с наблюдаемой на опыте зависимостью комптоновского смещения от угла рассеяния θ (см. рис. 1.15). Уширение обеих компонент рассеянного излучения обусловлено движением электронов и атомов, на которых происходит рассеяние, т. е. эффектом Доплера.

Наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества. Их энергия связи, особенно в тяжелых атомах, сравнима с энергией рентгеновских фотонов, и, значит, такие электроны уже нельзя считать свободными. Обмен энергией и импульсом рентгеновского фотона происходит с атомом как целым. Масса же атома намного превышает массу электрона, поэтому комптоновское смещение фотонов, рассеянных на таких атомах, ничтожно, и их смещенная длина волны практи­чески совпадает с длиной волны падающего излучения. Это видно из формул (1.15) и (1.16).

С ростом атомного номера относительное число связанных электронов увеличивается. Поэтому должно происходить возрастание интенсивности несмещенной компоненты по сравнению с интенсивностью смещенной. Это и наблюдается на опыте.

Кроме того, с ростом угла рассеяния θ доля передаваемой электрону энергии возрастает. Отсюда следует, что при увели­чении угла рассеяния θ растет относительная доля электронов, которые можно считать свободными, а значит, растет и отноше­ние интенсивности смещенной компоненты к интенсивности несмещенной, что и показывает опыт.

Итак, чем больше энергия фотона, тем в меньшей степени проявляется связь электрона с атомом, тем больше электронов, которые можно считать свободными. Именно поэтому для на­блюдения эффекта Комптона нужно использовать жесткое рентгеновское излучение. Вот почему эффект Комптона не на­блюдается в видимой области спектра. Энергия соответствую­щих фотонов настолько мала, что даже внешние электроны атома не могут играть роль свободных.

Опыты Боте и Гейгера (1925) доказали, что электрон отдачи и рассеянный фотон появляются одновременно. Схема опыта показана на рис. 1.17, где X — источник рентгеновского излучения, Р — рассеиватель, в котором под действием излучения происходит Комптон-эффект, Ф и Э — счетчики рассеянных фотонов и электронов отдачи. Эти счетчики установлены симметрично относительно рассеивателя Р и включены в схему совпадений С, т. е. в электрическую схему, которая позволяет регистрировать лишь те случаи, когда фотон и электрон в счетчиках Ф и Э появляются одновременно. В результате было установлено, что число одновременных регистраций фотона и электрона в счетчиках во много раз превосходит то число, которое можно было ожидать при случайном по времени появлении фотона и электрона. Так было доказано существование индивидуального столкновения фотона с электроном.

Рассмотрим обратный эффект Комптона. При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол θ, а электрон остановился. Найдем комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона. Согласно закону сохранения импульса

,

где и — волновые векторы первоначального и

рассеянного фотонов, — импульс электрона (рис.1.18). Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем

, (1.17)

где учтено, что ; ,и — энергия фотона до и по­сле рассеяния.

На основании закона сохранения энергии запишем ,

где Е – полная энергия электрона, m – его масса покоя. Из этого равенства

найдем

. (1.18)

Теперь воспользуемся равенством . Вычтем (1.17) из (1.18). В результате после сокращений получим:

,

 

или Отсюда

т.е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.

Рассмотрим некоторые примеры рассеяния фотонов.

1. Давление света. Плоский световой поток интенсивности I освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R. Найдем с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой. Для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой ω. Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.

Сначала найдем силу dF, действующую на элементарное кольцо dS (рис.1.19) в направлении оси ОX. При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс ∆p_x (рис. 1.20):

, где p = ħω/c.

 

Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо dS (см. рис. 1.19), равно , где . Тогда

.

Частота света сократилась, значит, она не играет здесь роли. Проинтегрировав последнее выражение по θ от 0 до π/2, получим

.

Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

2. Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью , испустил фотон под углом θ к первоначальному направлению движения атома. Найдем с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение фотона, обусловленной отдачей атома. Пусть «закрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией ћ. Разность энергий указанных состояний атома равна вне зависимости от того, покоится атом, или движется. При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменится и кинетическая энергия атома. Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21)

и ,

где Е* - энергия возбуждения атома, Е*=, а .

Исключив из этих двух уравнений p’², получим:

Учитывая, что энергия фотона и перед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:

где. Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера .