Рівняння Шредінгера

Оскільки із рухом мікрочастинки зіставляється якийсь хвильовий процес, то й стан частинки у квантовій механіці описується хвильовою функцією, залежною від координат і часу y(x, y, z, t). Вона є носієм інформації про корпускулярні і хвильові властивості мікрочастинки та служить її характеристикою вірогідності. Якщо уявно виділити досить малий об'єм простору dV=dx×dy×dz, в межах якого значення y-функції можна вважати однаковим, то на підставі статистичної інтерпретації вірогідність знаходження частинки у момент часу t в елементі об'єму dV визначається інтенсивністю хвильової функції, тобто квадратом y-функции: dW= =|y|²×dV. Тоді, вірогідність знайти частинку у даний момент часу у деякому кінцевому об'ємі простору V визначається інтегруванням:

Хвильова функція повинна задовольняти умові нормування: проінтегрувавши цей вираз у нескінченних межах, одержимо вірогідність того, що частинка у момент часу t зна-

ходиться будь-де у просторі. Це є вірогідність достовірної події, яку в теорії віро-

гідностей вважають рівною одиниці: Хвильова функція повинна задовольняти ряду обмежень. Вона повинна бути кінцевою (вірогідність не може пере-вищувати одиницю), однозначною (вона не може бути не-

однозначною) і безперервною (вірогідність не може змінюватись стрибками).

Рівняння руху мікрочастинок мусить враховувати їхні хвильові властивості, тому воно повинне бути хвильовим, подібно рівнянню, яке описує електромагнітні хвилі. Основне хвильове рівняння квантової механіки запропоноване Е.Шредін-гером у 1926 році, і з нього можна одержати аналітичний вираз для y-функцій у кожному конкретному випадку. Його справедливість підтверджується згодою оде-ржаних з його допомогою результатів із дослідними даними. Воно має вид звич-

ного хвильового рівняння: де V – швидкість поширення хвилі де Бройля. При вільному русі частинки, хвильова функція є плоскою хвилею де Брой-

ля. Відношення w₀/V=k – хвильовому числу, яке зв'язане із довжиною хвилі спів-відношенням: k=2p/l. Підставивши сюди вираз довжини хвилі де Бройля частинки l=h/m×V, одержимо рівняння Шредінгера для стаціонарних (незалежних від ча-

су) силових полів: де враховано, що h=h/2p, а кінетична енергія частинки надана, як різниця між її повною енергією Е і потенціа-

льною U(x,y,z). У це рівняння, як параметр, входить повна енергія частинки Е. Із теорії диференціальних рівнянь випливає, що рівняння Шредінгера має рішення не при будь-яких значеннях енергії Е, а лише при певному наборі значень, які називають власними значеннями. Вони можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд енергій. y-Функції, які відповідають власним значенням енергії, називають власними хвильовими функціями.

Найпростішим прикладом вирішення рівняння Шредінгера є рішення задачі про рух частинки у одновимірній потенціальній ямі розміром l із нескінченно високими стінками. Якщо усередині ями на частинку не діють силові поля, то її потенціальна енергія у ямі (для 0£x£l) U(x)=0, а поза ямою (для х<0 і х>l) прямує до нескінченності U(x)=¥. Оскільки частинка не може проникнути за нескінченно високі стінки ями, то y-функція за межами ями дорівнює нулю. Тому, за умови неперервності хвильової функції, вона дорівнює нулю і на межах ями, тобто y(0)=y(l)=0. Усередині ж ями y-функція відмінна від нуля. Хвильове рівняння

для y-функции усередині одновимірної ями набуває вигляду: Використовуючи позначення 2mE/h2=k2, перепишемо рівняння у вигляді: Рішенням його є гармонічна функція:y(x)=A×sin(w0×x+j). Із граничної умови y(0)=0, маємо: y(0)=А×sin(j)=0. Звідки випливає, що початкова фаза j=0. З іншої граничної умови y(l)

=0 маємо y(l)=А×sin(w₀×l)=0. Це співвідношення справедливе при умові: w₀×l=±p×n,

	де n=1,2,3,… Звідси, власні хвильові функції для частинки у ямі набувають вигляду: Для визначення амплітуди хвильової функції А викорис-
	таємо умову нормування: Враховуючи, що середнє значення sin2(pnx/l)=1/2, одержимо: A2×l/2=1. Отже, остаточний вигляд власних хвиль-

ових функцій для мікрочастинки у одновимірній потенційній ямі із нескінченно

високими стінками такий: Із нього виходить, що залежно від енергії частинки (значення n) густини вірогідності її виявлення |yn(x)|2 різна на

різних відстанях від стінок ями. Така поведінка частинки указує на неправомірність уявлень про її траєкторію. Підставивши в умову k×l=±p×n позначення k=

=/h, одержимо вираз для власних значень енергії частинки у ямі: Очевидно, що енергетичний спектр частинки дис-

кретний: енергія E_n може набувати визначених, квантованих, значень Е₁, Е₂,…. Число n, що задає значення енергії, називають головним квантовим числом. Стан частинки із мінімальною енергією, відповідною значенню n=1, називається основним, а решта станів – збудженими. Енергія основного стану Е₁=p²×h²/2m×l² відмінна від нуля, що є наслідком співвідношення невизначеностей: енергія не може дорівнювати нулю, оскільки це вимагало б виконання умови Dр_х=0, а це неможливо. Це говорить про те, що частинка ніколи не може припинити свого руху.