Производственная функция и техническая результативность производства

 

Производство есть процесс преобразования одних благ в другие: факторов производства в готовую продукцию. Техноло­гическая зависимость между структурой затрат ресурсов и мак­симально возможным выпуском продукции выражается с по­мощью производственной функции Q = f(L,K,3...F_n), где Q— выпуск продукции, a L, 3, F_n — применяемые факторы производства, соответственно труд, капитал, земля. Конкретная форма этой зависимости характеризует технологию производства. В целях упрощения будем предполагать, что уровень научно- технических знаний не оказывает влияния на техническую ре­зультативность производства (соотношение между количеством продукции, выпускаемой за определенное время, и количеством факторов производства, используемых для ее изготовления) [3].

Возможности изменить используемые в производстве фак­торы — объемы труда, капитала и земли — неодинаковы. Если спрос на продукцию фирмы возрастает, то на первых порах увеличение производства достигается за счет дополнительного привлечения труда на те же производственные мощности, по­скольку для расширения последних, как правило, требуется больше времени. В связи с этим вводятся понятия короткого и длинного периодов. Время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых факторов, называется коротким периодом. В свою очередь, фактор, объем которого нельзя из­менить в коротком периоде, называют постоянным, а фактор, объем использования которого меняется по мере изменения вы­пуска, — переменным. Время, достаточное для изменения объе­мов обоих факторов производства, — это длинный период, и поэтому в нем все факторы являются переменными.

Предположим, что фирма производит один товар и исполь­зует один переменный ресурс — труд L при неизменности всех остальных факторов в краткосрочном периоде. Тогда производственная функция выразится формулой Q = f(L). Зависимость объема выпуска от количества примененных единиц труда (при К — const) представим в табличной форме (табл. 4.1).

 

 

Таблица 4.1 — Зависимость объема выпуска от количества

используемых единиц труда

 

 

Количество единиц труда	Общий продукт ТР	Средний продукт АР	Предельный продукт МР
		—	—
		8,0
		9,0
		8,7
		8,25
		7,8
		7,0

 

Данные таблицы показывают следующее:

общий продукт труда ТР — общее количество продукции, произведенное за данное количество времени. Величина его возрастает с увеличением количества применяемого трудового ресурса;

средний продукт АР — количество продукции в расчете на единицу переменного фактора. Величина среднего продукта имеет аналогичную тенденцию, но точка максимума достигается при меньшем количестве применяемого ресурса;

предельный продукт МР— изменение величины общего продукта за счет ввода в производство одной дополнительной синицы любого переменного фактора. Величина предельного продукта также вначале возрастает, затем снижается, причем когда величина общего продукта достигает максимума, предельный продукт равен нулю. Алгебраически предельная произ­водительность труда представляется как производная функции общего продукта по труду МP_L = . Графически MP_L при использовании определенного количества соответствует тангенсу наклона касательной, проведенной к кривой общего продукта труда.

На основании данных таблицы построим графики, отра­жающие взаимосвязь среднего и предельного продукта труда с ростом выпуска продукции (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1 — Взаимосвязь среднего и предельного продуктов

с ростом выпуска продукции

График роста общего продукта показывает, что использова­ние дополнительных единиц труда приводит к росту общего продукта, но этот рост происходит неравномерно: в начале кри­вой приращение общего продукта возрастает, потом убывает. Подобная зависимость объемов выпуска от увеличения приме­няемых единиц труда отражает действие закона уменьшающей­ся отдачи ресурса: если в процессе производства все факторы производства остаются неизменными, а количество переменного фактора растет, то неизбежно наступит ситуация, когда каждая дополнительная единица переменного фактора будет добавлять к общему продукту все меньшую и меньшую величину [13].

Анализ взаимодействия кривых предельного и среднего продукта показывает, что когда величина предельного продукта превосходит средний продукт, то кривая предельного продукта располагается выше кривой среднего продукта и кривая средне­го продукта устремляется вверх. В точке пересечения кривых предельного и среднего продукта величина среднего продукта достигает максимума. Здесь достигается наивысшая производи­тельность принятых работников. Другой характеристикой тех­нической результативности производства в коротком периоде, кроме средней и предельной производительности ресурса, слу­жит коэффициент эластичности выпуска E_Q,F по перемен­ному фактору F, показывающий величину изменения выпуска (в процентах) при изменении объема переменного фактора на 1 %:

 

E_Q,F = / = × .

 

Соотношение между тремя показателями технической ре­зультативности переменного фактора выражается следующим равенством: E_Q,F = .

При увеличении количества используемого труда от нуля до двух единиц (до точки пересечения кривых предельного и среднего продукта) эластичность всегда больше единицы; при L = 2 (в точке пересечения кривых МР и АР) коэффициент эла­стичности равен единице; при дальнейшем увеличении труда

 

2 < L ≤ 7 эластичность выпуска по переменному фактору будет уменьшаться, но оставаться положительной величиной (рис. 4.1).

Техническая результативность производства в длинном периоде описывается с помощью использования двух ресурсов: труда (L) и капитала (K). Производственная функция в этом слу­чае выразится формулой Q = f(LK). Она описывает множество технически эффективных способов производства, представ­ленных в табл. 4.2 [14]. Например, выпуск продукции Q в объ­еме 57 единиц может быть достигнут при использовании трех технологий:

Q = 57; L = 80; K = 20;

Q = 57;L = 70;K = 30;

Q = 57,L = 60,K = 50.

 

 

Таблица 4.2 — Табличная форма производственной функции длинного периода

 

 

Количество труда L	Величина Q при следующих значениях К
					57
			57
		57

 

Данные, приведенные в табл. 4.2, отражают закон снижаю­щейся предельной производительности и труда, и капитала. Это выражается в том, что значения величин выпуска продукции растут медленнее, чем значения, отражающие увеличение соот­ветственно количества применяемого труда и объема капитала.

Графически каждый способ производства (выпуск, равный 57 единицам в табл. 4.2) может быть представлен точками А, В или С, координаты которых характеризуют минимально необ­ходимое для производства данного выпуска количество ресур­сов L и К, а производственная функция Q₁, может быть пред­ставлена линией равного выпуска, или изоквантой (рис. 4.2).

 

 

Рис. 4.2 – Карта изоквант

 

Если на этом графике расположить другую изокванту Q₂, то она будет представлять больший объем выпуска в каждой точке кривой, причем величина выпуска является неизменной. Изокванты обладают теми же свойствами, что и кривые безраз­личия: имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно координат и не пересекаются друг с другом.

Алгебраически производственная функция в длинном пе­риоде имеет вид степенной функции Q = AL^αK^β, где А, α, β — положительные постоянные числа, характеризующие техноло­гию производства (по значению не превосходят единицу).

Широкое применение в экономическом анализе получила функция Кобба—Дугласа Q = L^αK^β. Данные, представленные в табл. 4.2, рассчитаны с использованием данной функции. Дан­ные, округленные до целых чисел, соответствуют формуле Q = L^0,75K^0,25. Показатели степеней α и β производственной функции равны коэффициентам эластичности выпуска по фак­торам [14]:

 

= = =α;

 

= = =β.

 

 

Для данной цели не подходит, например, функция вида Q = aL + bK, где а и b — константы, так как в этом случае пре­дельные производительности факторов производства неизменны.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS:

 

MRTS=- .

 

 

Она показывает пропорцию, по которой фирма может за­мещать один ресурс другим, покупая их на рынке и сохраняя выпуск неизменным. При графическом построении MRTS соот­ветствует тангенсу угла наклона касательной к изокванте в точ­ке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.

Изокванты могут иметь различную конфигурацию. Если ресурсы, используемые для выпуска продукции, совершенно заменяемы, то изокванта имеет вид прямой линии; в случае же­сткой дополняемости ресурсов она изображается в виде угла; если известны лишь несколько способов выпуска продукции, то изокванта имеет вид ломаной линии.

При анализе производственной функции важную роль игра­ет отношение затрат кДпитала к затратам труда, которое называют капиталовооруженностью . Этот показатель характе­ризует интенсивность применения ресурсов в конкретном про­изводстве. Он отображается углом наклона прямой, проходящей через начало координат и точку изокванты.

Взаимосвязь капиталовооруженности и предельной нормы технического замещения отражается в показателе эластично­сти замещения σ, показывающем увеличение капиталовоору­женности труда (в процентах) при увеличении предельной нор­мы технологического замещения на 1 % по модулю [14]:

 

σ = : .

 

При использовании технологий, характеризующихся абсо­лютной замещаемостью и абсолютной незамещаемостью труда и капитала, эластичность замещения равна бесконечности.

Максимизировать выпуск продукции при данных затратах на ресурсы позволяет кривая равных издержек, или изокоста (изображение множества наборов ресурсов, имеющих равную стоимость). При цене труда P_L и цене капитала Р_к , располагая определенным бюджетом, предприниматель может купить оп­ределенное количество L и К. Общие расходы составляют С = P_LL + Р_кK, где L и К — соответственно количество приме­няемого труда и капитала. После некоторых преобразований уравнение изокосты примет следующий вид: К = , где характеризует наклон изокосты.

В точке касания изокосты С и изокванты Q (рис. 4.3) фирма несет наименьшие расходы на данный выпуск продукции. Рав­новесие производителя, или оптимум предприятия, опреде­ляется равенством предельной нормы технического замещения ресурсов KиL соотношению их цен:

 

MRTS=- = .

 

Рис. 4.3 — Равновесие производителя

 

Неравновесные состояния производителя наблюдаются тогда, когда предельная норма технического замещения больше или меньше отношения цен ресурсов. Для приближения к рав­новесию в первом случае необходимо увеличить расход труда и сократить расход капитала, во втором случае — наоборот, уменьшить расход труда и увеличить расход капитала.

Соединив точки касания изоквант с изокостами, получим линию «путь развития» OS (рис. 4.4). Она показывает деятель­ность предприятия в долгосрочном периоде. Если расстояние между изоквантами уменьшается, то это свидетельствует о том, что существует возрастающая экономия от масштаба производ­ства, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов (рис. 4.4, а) [3].

 

 

 

 

В случае, когда увеличение производства требует пропор­ционального увеличения ресурсов, говорят о постоянной эконо­мии от масштаба (рис. 4.4, б). Если расстояние между изокван­тами увеличивается, то наблюдается убывающая экономия от масштаба (рис. 4.4, в).

Технологическая результативность производства в длин­ном периоде с учетом изменения степенных показателей про­изводственной функции представлена в табл. 4.3 [14].

 

Таблица 4.3 — Технологическая результативность производства в длинном периоде

 

Технология производства	Объем выпуска при следующих значениях труда и капитала	Эффект масштаба
L = 20 ; K = 100	L = 30 ; K = 150	L = 40 ; K = 200
Q = L0,75K0,25	29,9 (1)	44,9 (1,5)	59,8 (2)	Постоянный
Q = L0,75K0,5	94,6 (1)	157,0 (1,7)	224,9 (2,4)	Растущий
Q = L0,5K0,25	14,1 (1)	19,2 (1,4)	23,8 (1,7)	Снижающийся

 

 

ПРИМЕЧАНИЕ. В скобках указано, во сколько раз увеличен вы­пуск по сравнению с исходным.

 

Из данных таблицы видно, что сумма показателей степеней в производственной функции показывает, на сколько процентов возрастет выпуск при увеличении соответствующего фактора производства на 1 %:

- при α + β = 1 наблюдается постоянный эффект от мас­штаба;

- при α + β >1 имеет место возрастающий эффект от мас­штаба;

- при α + β <1 выпуск продукции растет в меньшей степе­ни, чем прирастают ресурсы.

В действительности предприятия обычно производят не один продукт, а несколько продуктов одновременно, используя при этом различные ресурсы. Рассмотрим случай производства двух продуктов х и у при двух видах используемых ресурсов М и N [ 15]. Введем следующие обозначения:

а₁₁ — расход ресурса М при производстве единицы про­дукта х;

а₁₂ — расход ресурса М при производстве единицы продук­та у;

а₂₁ — расход ресурса N при производстве единицы про­дукта х;

а₂₂ — расход ресурса N при производстве единицы про­дукта у;

т — имеющийся в наличии объем ресурса М (его запас);

п — имеющийся в наличии объем ресурса N (его запас);

р_х — цена продукта х;

р_у — цена продукта у.

В данном случае технологию производства трудно описать производственной функцией, поэтому будем считать производ­ственной функцией функцию общего дохода TR(x,y), склады­вающуюся из выручки от продажи товара х и продажи товара у:

TR (х,у) = р_хх + р_уу.

В качестве бюджетного ограничения, характерного для вы­пуска одного товара, в нашем примере будет выступать имею­щийся в наличии запас каждого ресурса:

а₁₁х + а_12уу ≤ т; а₂₁х + а_22уу ≤ п.

Планом производства называют пару выпусков продуктов (х,у), которая удовлетворяет обоим ограничениям по запасу ресурсов.

Равновесный (оптимальный) план производстваесть та­кой план, который максимизирует функцию выручки при задан­ных двух ограничениях ресурсов.