Первый кризис оснований математики в греческий период его развития

Первый кризис оснований математики в греческий период его развития. Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку впервые возникли в Древней Греции.

Особенно важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская школа, которая рассматривала математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее его истинную часть. Истоки математики уходят в глубокую древность. О состоянии древнеегипетской математики позволяют судить такие документы как папирус Ринда и Московский папирус XX - XVIII вв. до н. э в которых уже содержатся арифметические задачи, которые сводятся по современным понятиям к решению уравнений первой степени с одним неизвестным и довольно обширные сведения из геометрии египтяне имели достаточно точное правило для вычисления площади круга и точную формулу для нахождения объема усеченной пирамиды.

Но развитие математического знания в те времена было очень медленным. Математика существовала исключительно в виде рецептов для решения определенных задач.

Если египетская математика представляет собой исключительно систему правил, подчиненных практическим целям, скомбинированных по назначению сбор налогов, хранение зерна, измерение земли и т. д то вавилонская математика, развившаяся несколькими столетиями позднее, имеет существенно другой вид. Задачи усложняются в своей математической основе. Вавилоняне широко используют теорему Пифагора и свойства пропорций, они решают задачи, сводящиеся к квадратным и кубическим уравнениям.

Они уже комбинируют задачи по их математическому типу и выдвигают задачи, не связанные непосредственно с практикой, которые представляют, так сказать, уже целенаправленное испытание возможностей математического метода самого по себе. Математика, возникшая в качестве простого набора практически полезных правил, постепенно превращается в науку, в систему внутренне связанных идей и методов. Появление математики как теоретической дисциплины исторически относят к греческому периоду ее развития - в VII-VI вв. до н. э Дело в том, что ни в египетской, ни в вавилонской математике не найдено какого-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, т. е. вывода одних формул и правил на основе других или иначе - математического доказательства в обычном смысле слова. Предполагается, что ни египтянам, ни вавилонянам не была известна сама идея дискурсивного доказательства, обеспечивающая необходимость и истинность результата в силу правил логики.

Все мысленные рассуждения логически строго не оформлялись.

Вследствие этого точные результаты в догреческой математике часто соседствуют с приближенными без какого-либо различия в основу расчетов кладутся ложные посылки, которые, несомненно, были бы отброшены при наличии строгой логической теории. Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета 625-547 гг. до н. э Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами и прежде всего в плане логической систематизации.

Исследования Гиппократа Хиосского, связанные с задачей о квадратуре круга, выполнены на рубеже V и IV вв. до н. э т. е. примерно за 100 лет до Евклида, находятся уже на таком уровне строгости, что, как замечает Д. Стройг, они вполне могли бы быть отнесены и к послеевклидовской математической традиции. Математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод - метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.

Вавилонская математика уже отчасти подготовила базу для нее. Зачатки математики, выработанные на Востоке, упали в Греции на благодатную почву относительно более высокой светской образованности и логической культуры, уже натренированной в сфере юриспруденции и философии.

Появление математики как систематической науки оказала в свою очередь огромное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненным математике. Это естественно, ибо наиболее рациональные из мыслителей не выходили еще за рамки антропоморфного и мифологического объяснения природы. Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полезное средство.

Но, прежде всего. Выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что все есть число. Смысл этого утверждения сводится к следующему. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начало, из которого можно было бы объяснить все происходящее.

Для пифагорейцев роль такого начала играли числа - исходные сущности, определяющие некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии. Согласно Аристотелю, Пифагор пришел к пониманию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки.

Предание гласит, что однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор заметил, что молотки кузнецов отбивают квинту. Взвесив их, он нашел, что их веса в точности относятся как 2 к 3, что натолкнуло его на мысль, что любое различие в звучании определяется числовым соотношением, что действительно было подтверждено в опытах с натянутой струной. Нетрудно представить, какое впечатление произвело это открытие на мыслителей того времени.

Греки заметили также, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительностью для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждения в истинности того или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии.

Учение о четырех стихиях, составляющих природу, заимствованное греками из индийской философии, было тотчас же объединено с геометрическим фактом существования пяти правильных многогранников. Космос как систему небесных тел пифагорейцы отождествили с числом десять как с самым совершенным числом. Пифагорейская теория четырех стихий и теория космоса содержала также изощренное учение о пропорциях, устанавливающее разнообразные арифметические и геометрические отношения между отдельными стихиями и отдельными элементами космоса.

Пифагорейцы заметили далее, что две точки образуют прямую, две прямые - плоскость, две плоскости - пространство, а в мире звуков - удвоение длины струны приводит к понижению звука на октаву. На основе этих наблюдений удвоение было превращено в принцип становления вообще, в принцип объяснения всякого усложнения. То, что для современного ученого выглядело бы простой случайностью, пифагорейцам представлялось наполненным глубоким смыслом, выражением божественного ритма и гармонии. Итак, математические формы числа и фигуры, будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей, превратилась и в универсальное орудие их понимания.

Механизм объяснения за пределами математики состоял у пифагорейцев не в логическом доказательстве одних положений из других, не в выводе следствий и сравнений их с опытом и даже не в сведении к непосредственной очевидности, но в установлении некоторого изоморфизма, структурной тождественности тех или других представлений, определенных математическим отношением.

Подразумевалось как нечто само собой разумеющееся, что учение о космосе истинно, так как в нем утверждается наличие именно десяти элементов частей. Учение о четырех стихиях верно, так как оно находится в прямом соответствии с учением о правильных геометрических телах и т. д. Критерием истинности выступает здесь внутренняя гармония, санкционируемая гармонией математической. Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мира, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей.

Мысли о случайности таких совпадений еще не возникало. Космос пифагорейцев был единым, законченным, чуждым случайности, подчиненным гармонии во всех своих частях. Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатления об истине самой по себе, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, в мире идей. Математическое познание есть поэтому просто воспоминания, оно требует не опыта, не наблюдений природы, а лишь видения разумом.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей эмпирических, данных в опыте. Когда геометры говорит Платон пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит.

Выводы свои они геометры делают для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Геометрические фигуры сами по себе в отличие от чертежей можно видеть только мысленным взором. В этих рассуждениях Платоном был впервые поставлен вопрос о специфике объектов, изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.

Первый и, по-видимому, наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримости отрезков в последние два десятилетия V в. до н. э Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, и пифагорейскую идеологию в целом Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 т. е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2 либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т. е. найти среднее геометрическое между 1 и 2. Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т. е. иррациональность, пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их точки зрения, онтологическую характеристику чисел, а именно на деление их на четные и нечетные доказательство велось от противного если допустить соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число равным четному.

Открытие иррациональности, т. е. отношений, не выражаемых целыми числами, вызвало первый кризис оснований математики.

Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина. Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему, дорефлексивному оперированию математическими понятиями.

Благодаря элеатам началась логическая работа над исходными понятиями науки - напряженная работа на протяжении V, IV и III вв. до н. э завершившаяся созданием трех главных программ научного исследования математической, атомистической и континуалистской. Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии философии и науки - с V по III в. до н. э. -можно выделить два направления философско-теоретической работы.

Одно из них представлено теми философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и другие. Другое направление представлено в первую очередь математиками- практиками - такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет.

Кризис в основаниях античной математики был преодолен в результате двух замечательных достижений научной мысли. Первым из них является теория пропорций, изложенная в Началах Евклида. По мнению ряда ученых, эта теория могла бы быть основой для определения понятия иррационального числа и создания арифметической теории континуума. Однако древние греки признавали законными только целые числа, и это, конечно, задержало развитие арифметики и математики в целом.

Другим блестящим достижением греков было создание Архимедом особого метода исчерпывания, в котором многие ученые видят прообраз современных теорий интегрирования. Важно при этом отметить, что при использовании данного метода не обращаются к бесконечным процессам, по крайней мере, в явном виде. 2