Философия математики в начале XIX в

Философия математики в начале XIX в. В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления эмпиризм и априоризм.

Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром.

Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики особенно это касается иррациональных и мнимых чисел рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.

Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания - пространство и время.

Пространство и время - необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической.

Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных фирм чувственности Понятие априорного Кант определяет только отрицательно. Понятий соответственно, суждение является априорным, если оно не является ни эмпирическим, ни врожденным Кант И. Сочинения в 6- ти томах М 1962-1965 т. 3 т. 3, с. 215 . Кантовская позиция отличается от позиции Декарта или Лейбница, которые склонны были считать математические понятия врожденным Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясной по Канту, все математические доказательства постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза Кант И. Сочинения в 6- ти томах М 1962-1965 т. 3, с. 402 . В теоретическом плане априоризм представляет резкую оппозицию эмпиризму.

Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать.

В методологических требованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как они также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве77 В. Уэвелл в Философии индуктивных наук 1840 выразил эту общую методологическую позицию словами Аксиомы не признаются - они должны быть видимы. Понятие видимости допускает различную интерпретацию, и вследствие этого Дж. Ст. Милль считает Уэвелла сторонником эмпиризма, в то время как Ф. А. Ланге относит его к кантианцам Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода. Однако, внутренние потребности математики, необходимость решения конкретных задач заставили математиков ввести в обиход такие образы, как иррациональные и комплексные числа, которые уже не были интуитивно ясными во всех свойствах и не допускали наглядной эмпирической интерпретации, адекватной этим свойствам.

В XVII-XVIII вв. прилагалось много усилий для того, чтобы сделать эти образы обычными, найти для них некоторое непосредственное оправдание в опыте или геометрических представлениях. Ньютон, Лейбниц, Эйлер и другие математики стремились обосновать анализ прежде всего также в этом направлении.

Несмотря на неудачу такого рода попыток, несмотря на то, что многие математики практически отошли от этого воззрения, требование интуитивной ясности математических образов в том или другом понимании интуиции продолжало быть определяющим в философских воззрениях на математику в начале XIX в. Лобачевский назвал свою геометрию воображаемой по той же причине, по какой комплексные числа, несмотря на их широкое использование, назывались мнимыми не было наличной физической реальности, которой можно было бы оправдать введение таких образов и к описанию которой можно было бы их непосредственно приложить.

В конце XVIII в. под влиянием трудностей обоснования анализа стали пробивать себе дорогу некоторые новые, более адекватные представления о математике.

Здесь прежде всего нужно указать на идеи французского математика Л. Карно, который ставил под сомнение необходимость в эмпирическом обосновании каждого математического понятия.

Точка зрения, развитая Карно, получила позднее название фикционализма, так как он считал внутренние образы математики фиктивными сущностями, созданными для облегчения операций с реальными, более близкими к опыту математическими понятиями.

Такими фиктивными сущностями Карно считал отрицательные, комплексные числа, а также бесконечно малые и бесконечно большие величины. Небольшое развитие этих взглядов, вообще говоря, открывает дорогу принятию всех абстрактных образов математики, в том числе и неевклидовых геометрий. Здесь остается один шаг до понимания того, что математическое существование вообще имеет другой смысл, чем физическое, и первое не должно непосредственно связываться со вторым.

Но этот шаг не был сделан по крайней мере по отношению к геометрии. Геометрия из-за своей тесной связи с механикой неизменно рассматривалась как наука о мире, как часть механики и в то время, когда в других областях математики начался отход от прямолинейно эмпирического понимания математических объектов. На протяжении всего XIX в. в философии математики проводилось резкое различие между арифметикой и геометрией по их отношению к опыту если за образами арифметики признавалась определенная независимость от опыта обычно в форме подчеркивания искусственной, мысленной природы этих образов, то образы геометрии истолковывались как факты действительности или гипотезы о мире. К. Ф. Гаусс писал в начале XIX в. Наше знание истин геометрии совершенно лишено того полного убеждения в их необходимости, которое принадлежит к учению о величинах мы должны скромно сознаться, что если число есть продукт нашего духа, то пространство помимо нашего духа имеет реальность, которой мы не можем apriori предписывать законы цит. Васильев А. В. Н. И. Лобачевский , Казань, 1984, с. 12 . Эту идею о разном статусе математических дисциплин по отношению к опыту, о большей эмпиричности геометрии по сравнению с арифметикой мы уже видели в приведенном выше рассуждении Больцано.

Она принимается как нечто само собой разумеющееся также Дедекиндом, Фреге, Кронекером, Пашем и даже Пуанкаре Пуанкаре А. Об основных гипотезах геометрии - в сб. Об основаниях геометрии М 1956, с. 398 . В духе своего времени Лобачевский также рассматривал геометрию прежде всего как опытную науку, как дисциплину, обоснование которой должно быть найдено в опыте, а именно в правильности наших измерений.

В соответствии с этим воззрением он пытался доказать справедливость своей новой геометрии посредством измерений, а именно через подсчет углов астрономических треугольников. С той же целью Гаусс занимался точным измерением больших треугольников в процессе работы по обмеру земель ганноверского королевства.

Эти измерения, как известно, не подтвердили гипотезы о неевклидовости реального пространства отклонение суммы углов треугольников от 180 всегда оказывалось в пределах допустимых ошибок измерений.

Как сейчас установлено, если наше пространство и является неевклидовым в смысле общей теории относительности, то современные средства измерений недостаточны для того, чтобы зафиксировать этот факт в каких-либо непосредственных измерениях. Таким образом, отрицательный результат опытов Лобачевского и Гаусса был предрешен.

Но суть дела не в этом. Суть в том, что сама идея оправдания математического объекта через опыт была ошибочной. Попытки Гаусса и Лобачевского показывают, что первооткрыватели новой сферы математики и, в определенном смысле, нового стиля математического мышления сами еще всецело находились под влиянием традиционного эмпирического воззрения на математику и были далеки от понимания действительного значения своих новых идей. Философская позиция, идущая от Бэкона и Ньютона, которой придерживались Лобачевский, Больяи и Гаусс, была для начала XIX в несомненно, более адекватной естествознанию, чем априоризм Канта. Но в своем непосредственном виде, как простое утверждение об опытной природе всякого знания, эта позиция была явно недостаточной для обоснования не только неевклидовой геометрии, но и обычных математических теорий.

Эмпиризм XIX в. так же, как и эмпиризм XVII в не был в состоянии объяснить специфику математики.

Лобачевский, как можно заключить из некоторых его высказываний, испытывал некоторые колебания в вопросе о путях оправдания новой геометрии. Так, он пишет в статье О началах геометрии Очень вероятно, что эвклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными. Как бы то ни было, новая геометрия, основание которой здесь уже положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений в самом деле, открывает новое обширное поле для взаимного применения геометрии и аналитики Лобачевский Н. И. Полн. Собр. Соч т. 1-5, с. 209 . Здесь Лобачевский, как мы видим, делает основной акцент на внутриматематической ценности своей геометрии и в вопросе ее оправдания занимает позицию, близкую к взглядам Лейбница и Карно. Однако в начале XIX в как мы сейчас понимаем, не существовало объективных предпосылок для того, чтобы перейти от этих правильных догадок к принципиально новому взгляду на сущность математических объектов и способов их оправдания. 3.2