Види шкал та припустимі математичні операції з ними

У великому різноманітті видів шкал, які призначені для вимірювання тих чи інших властивостей досліджуваних об’єктів, можна умовно виділити чотири основні групи, кожна з яких відповідає конкретному рівню вимірювання, - від найбільш низького до найвищого, а саме: номінальні, порядкові, інтервальні, шкали відношень (пропорційні).

Першу групу створюють номінальні шкали, які за своїми вимірювальними здатностями є найслабкішими. Номінальні шкали дозволяють здійснювати якісну класифікацію об’єктів та їх властивостей; вони тільки “називають” ці класи (від лат. nomen – ім’я, назва), не встановлюючи між ними відношення “>”, “<”. Наприклад, питання “Ваша стать” та варіанти відповідей на нього є номінальною шкалою, яка поділяє всіх респондентів на дві групи – чоловіків та жінок; те, що першим слідує варіант “чоловіча” не означає надання відповідному класу об’єктів (чоловіки) якийсь переваги у порівнянні з другим класом об’єктів (жінки). Таким чином, у номінальних шкалах всі класи об’єктів є рівними між собою, та порядок їх слідування за пунктами шкали можна змінювати.

Незважаючи на вузькі математико-статистичні можливості, номінальні шкали дозволяють здійснювати з одержаними даними певне коло операцій, зокрема, визначати моду. Модальним називають значення ознаки, якому у одержаному масиві відповідає найбільша частота.

 

Наприклад, варіантам відповідей на питання “Ваш сімейний стан” відповідають наступні частоти:

1. Холостий (незаміжня) 21%

2. Жонатий (заміжня) 49%

3. Розлучений, у шлюбі не перебуваю 10%

4. Розлучений, зараз перебуваю у шлюбі 14%

5. Вдівець (вдова) 6%

 

В нашому випадку найбільш представленою у вибірці є група респондентів, які перебувають у шлюбі; цьому значенню ознаки “сімейний стан” відповідає найбільша частота (49%), саме тому це значення є модальним.

 

Результати номінальних вимірювань можна представити у вигляді частотних розподілень по пунктах шкали, як у вищенаведеному прикладі. Крім одномірних розподілень (в нашому прикладі враховувалася тільки одна ознака – “сімейний стан”), можна також одержати розподілення за двома та більше ознаками одночасно (їх називають багатомірними), представляючи дані у табличному вигляді (таблиці перехресної класифікації, чи кростабуляції). За допомогою даних, відображених у таблицях перехресної класифікації, можна підрахувати наступні коефіцієнти зв’язку між номінальними ознаками: Хи-квадрат, коефіцієнти Чупрова та Крамера, коефіцієнт асоціації Юла, контингенції Фи та деякі інші (дивись 4.9).

На відміну від номінальних, у шкалах другої групи – порядкових – класи об’єктів розташовані за певним принципом – зростання чи убування ступеню вираженості конкретної ознаки (наприклад, рівня освіти, кваліфікації, ступеню задоволеності чимось і т.п.).

 

Наприклад: “До яких людей Ви себе відносите?”

1. До багатих, заможних

2. До забезпечених

3. До не дуже забезпечених

4. До бідних

5. До практично злиденних

Числові позначення порядкової шкали можна перейменувати із збереженням послідовності:

 

1...2...3...4...5 ® -2...-1...0...1...2 ® 2...4...6...8...10 і т.д.

 

Різновидом порядкових шкал є рангові шкали. В даному випадку респонденту пропонують ранжувати (розташувати у певній послідовності) сукупність об’єктів. Бажано, щоб кількість об’єктів ранжування не була занадто великою, у противному випадку результати процедури виявлятимуться ненадійними, нестійкими: у разі її повторення респондент присвоюватиме тим самим об’єктам інші ранги. До того ж, завдання ранжувати значну кількість об’єктів є занадто складним для респондента. Як правило, найбільшу стійкість демонструють перші та останні ранги (вони відповідають найбільшим чи найменшим перевагам респондента).

Тип шкали дослідник визначає заздалегідь, на етапі складання анкети чи іншого інструментарію збирання даних, бо від цього залежать способи опрацювання інформації та її статистичного аналізу: чим більш високим є рівень вимірювання, тим “сильнішою” за своїми математико-статистичними здатностями буде шкала. Так, порядкова шкала дозволяє здійснити більш широке коло процедур та операцій, ніж номінальна. Водночас, вже на етапі підготування одержаних даних до опрацювання та аналізу можна здійснювати перетворення шкал. Наприклад, якщо у опитувальнику шкала містить п’ять пунктів, їх можна звести до трьох, об’єднавши сусідні градації.

 

Наприклад: “В якому ступені Ви задоволені (не задоволені) умовами праці?”

+ 1. Повністю задоволений

+ 2. Скоріше задоволеній + 1. Задоволений

0 3. Важко відповісти ® 0 2. Важко відповісти

- 4. Скоріше не задоволений - 3. Не задоволений

- 5. Зовсім не задоволений

 

Якщо варіант відповіді “важко відповісти” знаходиться у середині шкали, вона має характер порядкової, якщо наприкінці – номінальної (в даному випадку порушується послідовність розташування “підказок” на шкалі – від “+” через “0” до “-“, чи навпаки). Якщо перед тим, як почати опрацювання даних, пересунути нейтральну позицію у середину континууму, можна одержати з номінальної шкали порядкову. Це збільшує кількість математичних процедур, які можна здійснити з отриманими даними. Якщо умовно прийняти порядкову шкалу за інтервальну (тобто припустити, що між градаціями шкали відстані є рівними, хоча це насправді не відповідає дійсності) можна розрахувати такі показники, як середнє арифметичне та коефіцієнти, які його включають.

На розрахунку середнього арифметичного засновується багато індексів, які дозволяють “стиснути”, агрегувати дані.

 

Наприклад, розрахуємо індекс задоволеності робітників умовами праці, якщо було одержано оцінки 100 осіб, а значенням ознаки “задоволеність умовами праці” відповідали наступні частоти:

 

1. Повністю задоволений 24 особи

2. Скоріше задоволеній 37 осіб

3. Важко відповісти 11 осіб

4. Скоріше не задоволений 19 осіб

5. Зовсім не задоволений 10 осіб

 

Для одержання значення індексу задоволеності умовами праці застосуємо формулу для розрахунку середнього арифметичного (точніше, середньозваженого, тому що частоти, що відповідають значенням ознаки, відрізняються від 0 та 1):

_

х = х₁n₁ + х₂n₂ + х₃n₃ + … + х_kn_k / n , де

 

х_{1 ...} х_k - варіанти значень ознаки (в даному випадку, числові коди, які їм приписані – від 1 до 5), n₁ ... n_k - частоти, які відповідають кожному з варіантів відповідей, n – кількість спостережень (респондентів).

 

I_з = 1х24 + 2х37 + 3х11 + 4х19 + 5х10 / 100 = 257 / 100 = 2,57

 

Область коливання індексу при даному принципі розрахунку – від 1 до 5; її можна варіювати, змінюючи числові коди, що приписуються варіантам відповідей (наприклад, від –1 до 1, чи від 0 до 1 і т.д.).

 

Для розрахунку мір зв’язку між порядковими ознаками застосовують коефіцієнти рангової кореляції Кендалла, Спірмена та інші. Треба відзначити, що коли встановлюється зв’язок між ознаками, вимірюваними на різних рівнях - наприклад, номінальному та порядковому (скажімо, між ознаками “місце проживання” та “рівень освіти”) використовують коефіцієнти, придатні для більш “низького” рівня вимірювання (в даному випадку, для номінального).

Проміжною між номінальними та порядковими (повністю упорядкованими номінальними) шкалами є підгрупа частково упорядкованих номінальних шкал. У таких шкалах ранжовані тільки декілька (більше двох) об’єктів.

 

Наприклад: “До якої соціальної групи Ви належите?”

1. Керівник підприємства, фірми

2. Керівник середньої ланки, менеджер

3. Спеціаліст

4. Робітник обслуговуючого персоналу

5. Робочий

6. Підприємець

7. Військовослужбовець

8. Безробітний

9. Домогосподарка

10. Пенсіонер

11. Інше

 

Як можна бачити, тільки у першій частині наведеного переліку об’єкти є упорядкованими за професійним рівнем. Для цього відрізку шкали правомірно використовувати ж математичні та статистичні операції, що й для порядкових шкал.

Номінальні та порядкові шкали є найбільш активно застосовуваними у соціальних дослідженнях. Різні модифікації порядкових шкал були у свій час запропоновані Богардусом, Лайкертом, Гуттманом, Терстоуном та іншими Докладніше про принципи їх побудови йдеться у [44, с.131-192; 28, с.227-231; 7, с.123-134; 30, с.236-274].

Номінальні та порядкові шкали створюють підклас дискретних шкал, тому що вони спрямовані на вимірювання якісних ознак об’єктів, які не створюють безперервного континууму. Таке вимірювання не можна вважати у повному смислі математичним. Між позиціями шкал не досягається рівності інтервалів, що не дозволяє оперувати з ними як з числами. Наприклад, відстань між градаціями “1. повністю задоволений” та “2. скоріше задоволений” може значно відрізнятися від відстані між градаціями “4. скоріше не задоволений” та “5. зовсім не задоволений”. Таким чином, різниця у числах не аналогічна різниці у властивостях об’єктів, хоча цей факт не завжди є очевидним. В зв’язку з цим виділяють окремий підклас дискретних шкал – псевдоінтервальні (відстані між градаціями ознак у таких шкалах суб’єктивно сприймають як рівні), прикладом яких є шкали оцінювання знань учнів - п’яти - , дванадцяти -, стобальні, “термометр громадської думки” – 100-бальна шкала, де 100^о означає категоричну згоду з судженням, 0^о – категоричну незгоду з ним.

Третю групу створюють інтервальні шкали – шкали з рівними значеннями інтервалів між позиціями відповідей. Відстань між градаціями таких шкал вимірюється за допомогою спеціальних одиниць (рік, грошова одиниця та ін.). Точка відліку на шкалі встановлюється довільно. Наприклад, у температурній шкалі Цельсія за нульову відмітку прийнято температуру таїння криги.

Четверта група шкал, які застосовують у соціальних дослідженнях, - шкали відношень. На відміну від шкал інтервалів, нульова відмітка на них встановлюється досвідним шляхом, тобто має об’єктивний характер. Це дозволяє, наприклад, говорити, що людина у віці 50 років у два рази старша за 25-літню [28, с.226].

Коло математико-статистичних операцій, які застосовують щодо обох груп неперервних шкал, є достатньо широким. Воно включає визначення мінімуму та максимуму (відповідно, мінімального та максимального значень кількісної ознаки у масиві, наприклад, віку респондентів), варіаційного розмаху (різниця між максимумом та мінімумом), розрахунок мір центральної тенденції - моди, медіани, середньоарифметичного та коефіцієнтів, які засновані на ньому (дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації).

 

Наприклад, в результаті вимірювання кількісної ознаки – стаж роботи респондентів – було одержане наступне частотне розподілення значень цієї ознаки:

 

Значення ознаки Абсолютні частоти Відносні частоти Відносні накопичені частоти

 

1. 1 рік 5 осіб 11% 11%

2. 2 роки 8 осіб 18% 29%

3. 3 роки 10 осіб 23% 52%

4. 4 роки 9 осіб 21% 73%

5. 5 років 12 осіб 27% 100%

 

Модальним є значення ознаки “стаж”, яке дорівнює 5 рокам (воно найбільш представлене у масиві). Визначимо середньоарифметичне та медіанне значення ознаки, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

_

х = 1х5 + 2х8 + 3х10 + 4х9 + 5х12 /44 » 3 роки

Медіанним називають значення ознаки, яке поділяє ранжований ряд навпіл: у першій відрізок влучають значення ознаки, які притаманні до 50% опитаних, іншім 50% респондентів притаманні значення, розташовані у другому відрізку. Медіана розраховується тільки щодо кількісних ознак, тому що їм притаманна властивість накопичуватися внаслідок своєї неперервності, кумулятивності (на відміну від номінальних та порядкових ознак). В нашому випадку частота ознаки накопичується до 50%-відмітки (50-й процентіль) до значення “3 роки”, тому це значення є медіанним.

 

Дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, варіаційний розмах є мірами розсіювання ознаки у досліджуваній сукупності (дивись 2.4). Дисперсія показує середню величину відхилення значень ознаки від її середнього значення. Вона позначається символом s² та розраховується наступним чином[1]:

k _

s² = S ( х_і – х )² n_i / n , де

i=1

_

х_і – і-те значення ознаки, х – її середнє значення, n_i – частота і-того значення ознаки, k – кількість значень ознаки, n – кількість респондентів

 

s² = (1- 3)² 5 + (2-3)² 8 + (3-3)² 10 + (4-3)² 9 + (5-3)² 12 / 44 = 20+8+0+9+48 / 44 » 2

 

Середньоквадратичне (стандартне) відхилення є коренем квадратним з дисперсії та виражається у тих самих одиницях, що й вимірювана ознака:

__ _

s = Ö s² s = Ö2 » 1,4

 

Коефіцієнт варіації дозволяє судити про ступінь розсіювання будь-яких ознак, в тому числі й вимірюваних на номінальному рівні, тобто якісних. Цей показник можна одержати декількома способами, зокрема, наступним:

_

V = s / х V = 1,4 / 3 » 0,5

 

Для встановлення та вимірювання інтенсивності зв’язку між інтервальними ознаками (вимірюваними за допомогою шкал рівних інтервалів та шкал відношень) застосовують коефіцієнт кореляції Пірсона, коефіцієнти множинної кореляції.

Якщо дві ознаки вимірюються в одних й тих самих одиницях (скажімо, у роках), то характеристики їх розподілення можна порівнювати, застосовуючи показник стандартного відхилення. Але порівняння ускладнюється, якщо одиниці вимірювання ознак принципово різняться. Однак це завдання можна вирішити, особливо у випадку, якщо значення ознак розподіляються нормально чи розподілення наближене до нормального, тобто має одну моду у центрі розподілення, а частоти симетрично убувають по направленню від центру. Графічне зображення нормального розподілення є колоколоподібною кривою. Відомо, для нормального розподілення 68,3% всіх випадків знаходяться у межах одного стандартного відхилення від середнього (`х + s ), 95,5% - у межах двох стандартних відхилень від середнього (`х + 2 s ), 99,7% - у межах трьох стандартних відхилень від середнього (`х + 3 s )[2].

 

Наприклад, для сукупності респондентів (які, скажімо, репрезентують населення конкретного міста) було підраховане середнє значення величини заробітної плати та стандартне відхилення. Нехай воно дорівнюють, відповідно, 400 та 20 гривнам. Можна стверджувати, що не менш 68% спостережень знаходитимуться між значеннями 380 та 420 гривень (тобто 400+20).

 

За умови нормального розподілення ознаки для будь-якого її значення можна визначити, на скільки стандартних відхилень вище чи нижче середнього воно знаходиться, а потім застосувати цю інформацію для з’ясування відносного положення значень двох різних ознак. Дозволяє це зробити стандартна оцінка (z), яка розраховується за наступною формулою:

_

z = (х_і – х) / s

 

Наприклад, нам відомі обсяги соціальних витрат держави на душу населення по декількох країнах та кількість соціальних працівників на 1000 мешканців, а також те, що значення цих ознак розподілені нормально. Припустимо, що нам необхідно застосувати ці дані для порівняльного аналізу ефективності соціальної політики цих держав. Підрахувавши середнє значення та стандартне відхилення для кожної змінної по всіх країнах, визначимо їх стандартні оцінки. Результатом будуть набори значень у стандартних одиницях (не в грошових одиницях та не в людях), які забезпечать можливість порівняння досліджуваних об’єктів за рядом ознак.

 

Питання та завдання до теми

 

1. Чим обумовлена необхідність застосування процедури вимірювання у науковому пізнанні? Окресліть специфіку вимірювання характеристик соціальних об’єктів.

2. Яким чином пов’язані рівні вимірювання та типи шкал, що застосовують у соціальних дослідженнях?

3. Порівняйте вимірювальні можливості номінальної та порядкової шкал. Що таке частково упорядкована номінальна шкала? Наведіть приклади.

4. Опишіть специфіку інтервального вимірювання та назвіть припустимі математико-статистичні операції щодо результатів вимірювання на інтервальному рівні.

5. Підрахуйте індекс задоволеності житловими умовами серед групи опитаних, яка нараховує 23 особи, якщо 8 респондентів відповіли, що вони абсолютно не задоволені своїми житловими умовами, 5 осіб далі відповідь, що скоріше не задоволені, 2 не визначилися з відповіддю, 2 відповіли, що скоріше задоволені, а 6 - що цілком задоволені умовами свого мешкання. Область коливання індексу – від –1 до 1.

6. У складі одного з відділів установи працюють 6 осіб, серед них 1 особа - 24-річна, 2 – 30-річні, 2 – 39-річні, 1 – 44-річна. Підрахуйте дисперсію, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації ознаки “вік” для даної сукупності.

7. У вибірці обсягом 1000 чоловік 60% висловилися проти призову студентів на військову службу, 40% - за. Визначить довірчий інтервал вибіркової оцінки з довірчою ймовірністю 95%.

 

3.2. НАДІЙНІСТЬ ВИМІРЮВАННЯ

СОЦІАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК