Выполнимость и общезначимость - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств Определение.Формула A Выполнима В Данной Интерпретации...
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений свободных переменных x1, x2, …, xn формулы A, что A|<a1, a2,…, an> = И.
Формула A истинна в данной интерпретации, если она принимает значение И на любом наборе значений своих свободных переменных.
Формула A называется ложной в данной интерпретации, если она не является выполнимой ни на одном наборе значений своих свободных переменных.
Формула A общезначима (в логике предикатов), если она истинна в любой интерпретации.
Формула A выполнима (в логике предикатов), если существует интерпретация, в которой она выполнима.
Формула A называется противоречием (в логике предикатов), если она ложна в любой интерпретации.
Данная интерпретация называется моделью для данного множества формул S, если каждая формула из S истинна в данной интерпретации.
Приведенные ниже утверждения являются просто простыми следствиями определений.
Формула A является ложной в данной интерпретации тогда и только тогда, когда ØA истинно в той же интерпретации, и A истинно тогда и только тогда, когда ØA ложно.
Никакая формула не может быть одновременно истинной и ложной в одной и той же интерпретации.
Если в данной интерпретации истинны A и AÉB, то истинно и B.
Формула AÉB является ложной в данной интерпретации тогда и только тогда, когда A в этой интерпретации истинно, а B ложно.
Формула A общезначима тогда и только тогда, когда формула ØA не является выполнимой, а формула A выполнима тогда и только тогда, когда формула ØA не является общезначимой.
Теорема 4.1. Формула "x A(x)ÉA(y), где y не входит в формулу A(x), общезначима.
Доказательство. Пусть {x, x1, x2,..., xn} - множество всех свободных переменных формулы A. Тогда, очевидно, {y, x1, x2,..., xn} будет множеством всех свободных переменных формулы "x A(x)ÉA(y). Возьмем произвольную интерпретацию этой формулы на произвольном непустом множестве M и пусть <b, a1, a2,..., an> произвольный набор значений переменных {y, x1, x2,..., xn} на множестве M. Требуется доказать, что значение формулы "xA(x)ÉA(y) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть истина.
Рассмотрим два случая.
1. Значение формулы A(x) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть истина для любого bÎM. Тогда формула "xA(x) имеет истинное значение на наборе <a1,a2,...,an>. Формула A(y), как и формула A(x) является истинной, когда ее свободные переменные принимают значения <b, a1, a2,..., an>. Отсюда получаем, что формула "x A(x)ÉA(y) имеет истинное значение на наборе <b, a1, a2,..., an>.
2. Значение формулы A(x) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть ложь. Следовательно, формула "xA(x) имеет ложное значение на наборе <a1,a2,...,an>. Формула A(y), как и формула A(x) является ложной, когда ее свободные переменные принимают значения <b, a1, a2,..., an>. Отсюда получаем, что формула "xA(x)ÉA(y) имеет истинное значение на наборе <b,a1, a2,..., an>.
В обоих случаях значение формулы "xA(x)ÉA(y) является истинным, чем и заканчивается доказательство.
Теорема 4.2. Формула A(y)É$x A(x), где y не входит в формулу A(x), общезначима.
Доказательство. Пусть {x, x1, x2,..., xn} - множество всех свободных переменных формулы A. Тогда, очевидно, {y, x1, x2,..., xn} будет множеством всех свободных переменных формулы A(y)É$x A(x). Возьмем произвольную интерпретацию этой формулы на произвольном непустом множестве M и пусть <b, a1, a2,..., an> произвольный набор значений переменных {y, x1, x2,..., xn} на множестве M. Требуется доказать, что значение формулы A(y)É$xA(x) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть истина.
Рассмотрим два случая.
1. Значение формулы A(x) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть ложь. Формула A(y), как и формула A(x) является ложной, когда ее свободные переменные принимают значения <b, a1, a2,..., an>. Отсюда получаем, что формула A(y)É$xA(x) имеет истинное значение на наборе <b, a1, a2,..., an>.
2. Значение формулы A(x) на наборе <b, a1, a2,..., an> есть истина. Следовательно, формула A(y), как и формула A(x) является истинной на этом наборе. Формула $xA(x) имеет истинное значение на наборе <a1,a2,...,an>. Отсюда получаем, что формула A(y)É$xA(x) имеет истинное значение на наборе <b,a1, a2,..., an>.
В обоих случаях значение формулы A(y)É$xA(x)) является истинным, чем и заканчивается доказательство.
Задача распознавания общезначимости формул логики предикатов существенно сложнее, чем формул логики высказываний. Так же, как и в логике высказываний, она называется проблемой разрешимости и ставится следующим образом: указать алгоритм распознавания общезначимости формул (т. е. является ли данная формула общезначимой или нет). Как мы увидим в главе 5, такой алгоритм отсутствует.
Знания забудутся, пробелы в них - никогда.
Михаил Генин
Два мира есть у человека:
Один, который нас творил,
Другой, который мы от века
Творим по мере наших сил.
Н. Заболоцкий
Все темы данного раздела:
Начальные понятия теории множеств
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения.
Определение:
Интуитивный принцип объемности
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записывают A=B, если A и B равны, и A
Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <
Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци
Эквивалентность
Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве.
Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н
Зачем мы изучаем математическую логику?
Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно
Высказывания
Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч
Логические связки
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или"
Формулы логики высказываний
Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)
Равносильность формул
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех выск
Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
· Формула называется тождественно-ложной ил
Нормальные формы формул
Содержание этого параграфа изложим, следуя [24].
Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы
Разрешимость для логики высказываний
Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я
Абстрактное определение булевых алгебр
Определение.Множество элементов B с заданным на нем двуместными операциями &Ugra
Модель исчисления высказываний
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность.
Во второй главе показ
Булевы функции. Теорема о нормальной булевой форме
Рассмотрим еще одну модель булевой алгебры.
Определение. Пусть M - произвольная булева алгебра с базисными операциями Ù, Ú, Ø. Рассмот
Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями.
Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum
Полные системы булевых функций
Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f
Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров
Формулы логики предикатов
Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений:
1. Каждый любит сам себя. Значит, ко
Интерпретации
Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов.
Определение. Под интерпретацией мы будем понимат
Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены
Исчисление высказываний
Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний.
Определим исчисление высказ
Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией.
2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией.
Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля
Исчисление предикатов
Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов:
1) символы предметных переменных: x
Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы.
2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой.
3. Любая доказуема
Логический вывод
Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна.
Оскар Уайльд
Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Внача
Метод резолюций
Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв
Неполнота математики
Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н
Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи
Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936).
Основная идея Гёделя сос
Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления
Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть
Машины Тьюринга
Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф
Тезис Чёрча
За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати
Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы
Определение. Предикат M(x) называется разрешимым, если его характеристическая функция, задаваемая формулой
cM(x
Сложность алгоритмов
Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес
NP-трудные и NP-полные задачи
Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим.
Определение. Задача Q по
Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им
Логика Гейтинга
Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся:
1. ØØх É х 2. х É ØØх
Гейтинг создал трехзначную пропозицио
Трехзначная система Бочвара Д.А.
Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап
К - значная логика Поста Е.Л.
Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к
Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.
Наименование тем
Введение
История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
"Для того, чтобы x бы
Новости и инфо для студентов