Фрактальная геометрия

Фрактальная геометрия обязана своим возникновением (в современном виде) Б. Мандельброту и развитию компьютерной техники. Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot, во французском произношении – Б. Мандельбро) родился в Варшаве (в 1924 г.), работал во Франции и США, в 1977 г. опубликовал книгу "Форма, случай и размерность", а затем – еще более знаменитую книгу-манифест "Фрактальная геометрия природы" (1983). Термин «фрактал»Мандельброт произвел от латинского корня "fract" (лат. "fractare" – ломать, дробить; "fractus" – расчлененный, разбитый, англ. "fractal" – дробный). Согласно определению Б. Мандельброта, вряд ли понятному большинству биологов, фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа - Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Говоря проще, фрактал – множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической и выражаемой целым числом. Б. Мандельброт дает и другое определение: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и исчерпывающего определения фракталов все еще не существует.

Фрактальная структура образуется путем бесконечного повторения (итерации) какой-либо исходной формы во все уменьшающемся (или увеличивающемся) масштабе по определенному алгоритму, т.е. в соответствии с определенной математической процедурой. Этот несложный процесс с обратной связью дает поразительно многообразный морфогенез, нередко подобный созданию природных форм.

Таким образом, фракталы характеризуются самоподобием, или масштабной инвариантностью, т.е. единообразием в широком диапазоне масштабов. Одновременно идеи скейлинга, масштабирования, другими словами, масштабной инвариантности в физике полимеров, а также явлениях просачивания (перколяции) развивал П. де Жен (P. de Gennes).

Как известно, традиционные геометрические объекты имеют целочисленную размерность: линия одномерна, плоская поверхность двумерна, поверхность сферы трехмерна. Фрактальные объекты характеризуются фрактальной, дробной размерностью. Такая размерность была введена Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf, 1919). Если гладкая эвклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, то фрактальная линия выходит за его пределы, частично заполняя двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Например, фрактальная линия берега имеет размерность между 1 и 2; фрактальная поверхность (горный рельеф) - размерность между 2 и 3.

Исследование фракталов было связано с практической задачей измерения береговой линии. Один из способов определения фрактальной размерности (D) в связи с этой задачей иллюстрируется рис. 1, изображающим береговую линию Норвегии (Федер, 1991). Фрактальная структура (в данном случае - линия берега) заключается в сеть квадратов все меньшего размера.

N (L) - число квадратов со стороной L, необходимых для покрытия фрактальной структуры. График двойного логарифма от N (L) как функции от L имеет угловой коэффициент, равный D

ln N (L)

D = lim ———

(L ® 0) ln L

 

Оказалось, что такие измерения c использованием фотоизображений и карт разного масштаба дают в итоге близкие к инвариантным значения D. Фрактальная размерность изрезанного фиордами побережья Норвегии характеризуется значением D около 1,5. Для менее изрезанной береговой линии Англии значение D оказалось равным приблизительно 1,3.

Рис. 1. Определение размерности береговой линии Норвегии

(Федер, 1991)

Еще один способ определения фрактальной размерности: вокруг каждой точки структуры проводится окружность радиуса R;

D

L » a ( R / a),

где L - расстояние по прямой; a - размер звена ломаной

D - фрактальная размерность.

Упрощенно можно представить фрактальную размерность как отношение длины измеряемого контура к длине мерки. Фрактальная размерность является показателем, мерой заполнения пространства фрактальной структурой.

Предшественники современной фрактальной геометрии: К. Вейерштрасс (K. Weierstrass), Ф. Хаусдорф (F. Hausdorf), Г. Кантор (G. Cantor), Дж. Пеано (G. Peano), Г. Жюлиа (G. Julia), Х. Кох (Helge von Koch), В. Серпиньский (W. Sierpinski) в конце XIX - начале XX веков создали первые графические образы структур, названных впоследствии фрактальными. Эти классические примеры фракталов помогают уяснить их сущность.

Построение дискретного множества Г. Кантора проводится таким образом: из исходного отрезка выбрасывается интервал (одна треть), и эта операция повторяется бесконечно (рис. 12). Фрактальная размерность (топологический инвариант) фрактальной множества Кантора

D = ln 2 / ln 3 » 0, 63

Рис. 2. Множество Кантора

Весьма наглядны такие линейные геометрические фракталы, как линия Кох (рис. 13), генерация которой определяется ломаной линией, заменяющей за один шаг все отрезки фигуры, и треугольник Серпинского (рис.14 ), имеющий фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 » 1, 58.

Рис. 3. Построение кривой Кох

Фрактальная размерность - топологический инвариант каждой фрактальной структуры, особый вид симметрии - как бы симметрия фрактала относительно масштаба.

Итак, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Точно так же фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство; теоретически мыслим и выход трехмерной поверхности в результате ее фрактализации в пространство высшей размерности (West et al., 1999).

Рис. 4. Построение треугольника Серпинского

Фрактальными (точнее, квазифрактальными) оказались, помимо береговой линии, многие другие природные структуры и процессы: реки с их притоками, молнии, раскаты грома, поверхность гор, облаков, распределение галактик, солнечная активность и т. д. (Mandelbrot, 1977, 1983; Юргенс и др., 1990; Федер, 1991; Пайтген, Рихтер, 1993). Окружающие нас естественные ландшафты формируются как результат динамического хаоса природных процессов. Фрактальность природных объектов доказывается возможностью построения весьма правдоподобных компьютерных ландшафтов виртуального мира по простым фрактальным программам, в которых подобие реальности достигается рандомизацией, некоторой степенью нерегулярности путем введением случайных чисел. Так, при построении желаемой поверхности виртуальных ландшафтов, с невысокими сглаженными холмами или же гор с остроконечными скальными пиками, применяется метод случайного - в определенных пределах, определяющих степень гладкости ландшафта - смещения средней стороны треугольников, на которых разбивается плоскость (Дьюдни, 1987; Юргенс и др., 1990).

Помимо виртуальных ландшафтов, применение относимтельно простых компьютерных программ дает возможность создания сложных красивых или фантастических образов, претерпевающих бесконечные метаморфозы и непрерывно развертывающихся в виртуальном пространстве. Однако фракталы могут быть и невзрачными, например, хлопьевидные, зернистые, волокнистые и т. п. структуры и агрегаты.

Самоподобие фрактальных структур как результат итерации функции с обратной связью (самореферентная обратная связь) определяет связь ближнего (локального) и дальнего (глобального) порядков и дает возможностьсжатого математического описания структур и процессов, еще недавно недоступных такому описанию и пониманию.

Множества Жюлиа (рис. 15)-и Мандельброта – нелинейные, квадратичные фракталы, комплексные динамические системы, генерируемые бесконечным повторением (итерацией) алгебраических функций или систем функций, причем значение вычисленной функции при следующей операции подставляется как аргумент. Простые математические правила порождают самоподобное относительно нелинейных преобразований, весьма сложное формообразование – это означает, что в основе сложных структур и процессов могут лежать простые правила.

Рис. 5. Примеры множеств Жюлиа (Пайтген, Рихтер, 1993)

При генерации этих множеств используется простой алгоритм на основе полинома второй степени:

(z² + c)² + c,

где переменная z и константа c - комплексные числа, состоящие из действительной и мнимой частей (мнимая часть содержит множитель i: квадратный корень из -1). Затем полученное значение последовательно подставляется в эту же формулу как z:

[(z² + c)² + c]² + c

и т. д.

Наиболее сложный и интересный фрактальный объект - множество Мандельброта.

Рис. 6. Множество Мандельброта (Mandelbrot, 1983)

Полученные числа отображаются точками на координатной плоскости и экране компьютера, где формируется пространственно-временной образ множества. Компьютер, последовательно вычисляющий значения этих чисел, используется подобно микроскопу, обеспечивая возможность увеличения части изображения за счет дальнейших вычислений компьютера с постоянным уменьшением масштаба. При этом наблюдается воспроизведение одной и той же основной структуры множества Мандельброта (которую разные авторы именуют по-разному: пряничный человек, сердце, черный карлик: рис. 16) с появлением множества копий в разных масштабах, но без полного повторения окружающих структур, без строгого самоподобия, с развертыванием бесконечных вариаций и появлением весьма нетривиальных картин (рис. 17-19). Множество Мандельброта оказывается и вместилищем изображений множеств Жюлиа.

Таким образом, простой алгоритм построения раскрывается при бесконечном повторении как генератор разнообразных причудливых форм, некоторые из которых напоминают биологические и эффектно выглядят даже в черно-белом статичном изображении, получаемом при последовательных «увеличениях» с помощью компьютера (рис. 17-19). Разумеется, множество Мандельброта эффектнее развертывается на экране компьютера при использовании таких программ, когда в зависимости от скорости изменения значений чисел различные области окрашиваются в разные цвета. Основная черная фигура (рис. 16) – это множество точек, не выходящих за ее пределы (точек-«пленников»). На границах множеств точек-«пленников» и точек-«беглецов» располагаются множества Жюлиа и наблюдается наиболее разнообразный морфогенез.

Таким образом, сложные формы, нередко напоминающие биологические, могут быть созданы без генов, по простому рекурсивному (с обратной связью) алгоритму, выполняющему роль генетических правил.

Рис. 7. Фрагмент множества Мандельброта (Пайтген, Рихтер, 1993)

Рис. 8. Фрагмент множества Мандельброта (Пайтген, Рихтер, 1993)

Рис. 19. Фрагмент множества Мандельброта, полученный с увеличением разрешающей способности компьютера (Пайтген, Рихтер, 1993)

Итак, фрактальная геометрия это геометрия природы, и окружающий нас мир наполнен хаотическими фракталами, красота или невзрачность которых поддается сжатому математическому описанию и моделированию с использованием простого рекурсивного, с обратной самореферентной связью алгоритма, выполняющего роль генетических правил при построении компьютерных фракталов.

Самоподобие, связь локального и глобального порядков делают фракталы сходными с голограммами, каждая часть которых несет целостное изображение, и биологическими морфогенетическими полями (Sheldrake, 1981).

Фрактальная геометрия – геометрия динамического хаоса. Фрактальная геометрия и нелинейная хаотическая динамика и тесно связаны, однако эти разделы науки развивались порознь, и их связь и тем более единство еще не полностью установлены. Итак, переходим к рассмотрению динамического хаоса.