Хаотические фракталы природы

Структура идеального компьютерного фрактала сохраняется при любых масштабах ее рассмотрения. Чтобы получить такой фрактал, итерации должны продолжаться бесконечно долго: если полученное множество утрачивает на каком-то шаге свою фрактальную структуру, оно перестает быть идеальным фракталом. Природные, в частности, биологические структуры - это квазифракталы: они самоподобны лишь на ограниченном отрезке шкалы масштабирования. Некоторые исследователи, например, С.Д. Хайтун (1996), на этом основании приходят к заключению, что фракталы не являются реально существующими объектами, а реальные системы могут быть только фракталоподобными.

Все природные квазифрактальные структуры (рис. ) представляют собой след, результат, структурную запись порождающих их хаотических природных процессов. Фрактальная геометрия природы, неживой и живой - геометрия хаоса. Структурные квазифракталы можно считать пространственными аналогами хаотических нелинейных процессов, в результате которых и возникают природные квазифрактальные структуры.

П. Бак и К. Чен (1991) рассматривают фрактальные структуры как мгновенные «срезы» самоорганизующихся критических процессов, пространственные «отпечатки» самоорганизованной критичности, в структуре которых отсутствует строгое самоподобие.

Рис. . Ураган Линда (снимок со спутника)

Рис. . Вид речного бассейна из космоса

Итак, даже относительно простые фрактальные структуры неживой и живой природы отличаются от идеальных компьютерных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры - это квазифракталы, хаотические, или случайные фракталы.

Хаотические процессы нередко также характеризуются неполной повторяемостью своей структуры при изменении масштаба, т.е. статистическим самоподобием, квазифрактальностью во времени. Множество процессов, происходящих в природе и обществе – от космических и планетарных до физиологических и биохимических явлений – характеризуются хаотической фрактальной динамикой. Б. Мандельброт, анализируя изменения индекса Доу-Джонса, обнаружил фрактальные флуктуации в разных масштабах времени. Шумы и музыка также имеют фрактальную природу. Создаваемая человеком музыка, как оказалось, имеет общие черты с динамикой природных процессов – имитируя таким образом изменения нашего мира во времени.

Особый тип хаотических фракталов составляют так называемые фрактальные кластеры - новый класс физических объектов, плотность которых уменьшается по мере роста, с увеличением размера кластера. Исследование фрактальных кластеров, представляющее собой новое направление в физике (Смирнов,1991), перспективно и для биологии, поскольку многие биологические объекты подобны физическим фрактальным кластерам. О физических фрактальных кластерах уже написаны книги, обзоры и сотни статей. Это направление исследований началось с появления новой теоретической модели - модели агрегации, ограниченной диффузией (diffusion limited aggregation, DLA; рис.22), описывающей агрегацию частиц в условиях их случайного движения (Witten, Sander, 1981; Сандер. 1987).

Несколько позже выяснилась универсальность этой модели и ее применимость к имитационному моделированию многих фрактальных форм неживой и живой природы и столь разных явлений как осаждение металла при электролизе, электрический разряд при пробое диэлектрика, формирование “вязких пальцев” при вытеснении воздухом вязкой жидкости, рост минеральных дендритов, бактериальных колоний (рис. 23).

Рис. . Фрактальные кластеры: компьютерное моделирование

Рис. . Физические фрактальные кластеры: осаждение металла при электролизе; «вязкие пальцы»; электрический разряд (Сандер, 1987)

Модифицируя экспериментальные условия, можно получить рост анизотропных кластеров. Так, рост дендритных кластеров цинка при электролизе и дендритов другой природы от граничной поверхности ведет к образованию анизотропных фрактальных деревьев, весьма напоминающих формы живой природы.

Экспериментальным путем получены и трехмерные анизотропные натурные кластеры - металлические деревья Даккора (G. Daccord). Для получения таких трехмерных фрактальных деревьев в гипсе высверливаются отверстия, через которые поступает дистиллированная вода, понемногу растворяющая гипс; затем образовавшиеся пустоты заполняются металлическим сплавом, а оставшийся гипс удаляется кислотой.

Внешнее сходство фрактальных кластеров весьма разнообразной природы подкрепляется возможностью их моделирования на основе модели DLA (Witten, Sander, 1981), ее вариантов и родственных моделей. При этом компьютерные модели не только имитируют морфологию фрактальных кластеров и дают их математическое описание, но и объясняет образование таких кластеров. Отличительная черта модели DLA и подобных процессов роста фрактальных агрегатов – концентрация ростовых процессов в периферических областях кластера, что происходит вследствие экранирования внутренних частей агрегата от вновь поступающих диффундирующих частиц.