Подбор подходящего закона распределения вероятностей

При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.

Предположим, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их не­которые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выбо­рочной средней – m = 17.74, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X — выборочному среднему квадратическому отклонению – .

Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:

Далее построим таблицу 3.2.3.1.

Таблица 3.2.3.1. Значения плотностей распределения

Построим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из ука­занных ранее распределений. Гистограмма частот— это графическое изо­бражение зависимости плотности относительных частот от соответст­вующего интервала группировки. Графическое изображение гистограм­мы и кривых различных распределений приведено на рис. 3.2.3.1.—3.2.3.3.

Рис 3.2.3.1. Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

Рис 3.2.3.2. Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рис 3.2.3.3. Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к по­лученной гистограмме.

Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X, т. е. о соответствии функции распределения F(х) экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

Для применения критерия необходимо, чтобы частоты , соответствую­ще каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие Интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения k’.Далее вычисля­ется следующая сумма:

. Здесь s— число неизвестных параметров распределения, которые были оп­ределены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределений s = 2). В данном случае