Повышение котировок (0,6)

Понижение котировок (0,4) _2qqq

Инвестиции в компанию В

Повышение котировок (0,6)

Понижение котировок (0,4) Рис. 14.4. Дерево решений для задачи инвестирования

Исходя из схемы рис. 14.4 получаем ожидаемую прибыль за год для каждой из двух альтернатив.

Для акций компании А: 5000 х 0,6 + (-2000) х 0,4 = 2 200 (долл.). Для акций компании В: 1500 х 0,6 + 500 х 0,4 = 1 100 (долл.).

Вашим решением, основанным на этих вычислениях, является покупка акций компании А.

В теории принятия решений повышение и понижение котировок на бирже име­нуются состояниями природы, возможные реализации которых являются случай­ными событиями (в данном случае с вероятностями 0,6 и 0,4). В общем случае за­дача принятия решений может включать п состояний природы и т альтернатив. Если Pj — вероятность ;-го состояния природы, а а_ц — платеж, связанный с приня­тием решения i при состоянии природы j (i = 1, 2, т, j = 1, 2, п), тогда ожи­даемый платеж для решения t вычисляется в виде

^м^ = ^a,iPi + «А + ••• + ^a,J>»>ⁱ⁼ !> ²> •••> "> где по определению р, + р_г + ... + р_п = 1.

Наилучшим решением будет то, которое соответствует MV" = max, {MV_t или

MV' = min,{/V/V;}, в зависимости от того, является ли платеж в задаче доходом

(прибылью) или убытком (затратами).

УПРАЖНЕНИЯ 14.2.1

1. Вас пригласили на телевизионную игру Колесо фортуны. Колесо управляет­ся электронным образом с помощью двух кнопок, которые сообщают колесу сильное (В) или слабое (Н) вращение. Само колесо разделено на равные об­ласти — белую (Б) и красную (К). Вам сообщили, что в белой области колесо останавливается с вероятностью 0,3, а в красной — 0,7. Плата, которую вы получаете за игру, равна (в долл.) следующему.

Глава 14. Теория игр и принятия решений

Б К

-2500

Изобразите соответствующее дерево решений.

2. Фермер Мак-Кой может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Веро­ятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст 30 000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов — 10 000 долл. Если цены останутся неизменными, Мак-Кой лишь покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и соевых бобов приведет к потерям в 35 000 и 5 000 долл. соответственно.

a) Представьте данную задачу в виде дерева решений.

b) Какую культуру следует выращивать Мак-Кою?

3. Допустим, у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максималь­ную долгосрочную прибыль от акций мелких компаний) и глобальный. При­быль от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка. Суще­ствует 10% -ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная— что рынок останется умеренным и 40%-ная— рынок будет воз­растать. Следующая таблица содержит значения процентов прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития рынка.

 

Альтернатива (фонды)	Процент прибыли от инвестиции	(%)
Ухудшающийся рынок Умеренный рынок	Растущий рынок
Простой	+5 +7	+8
Специальный	-10 +5	+30
Глобальный	+2 +7	+20

a) Представьте задачу в виде дерева решений.

b) Какой фонд открытого типа вам следует выбрать?

4. Предположим, у вас имеется возможность вложить деньги либо в 7,5%-ные облигации, которые продаются по номинальной цене, либо в специ­альный фонд, который выплачивает лишь 1% дивидендов. Если существу­ет вероятность инфляции, процентная ставка возрастет до 8%, и в этом случае номинальная стоимость облигаций увеличится на 10%, а цена ак­ций фонда — на 20% . Если прогнозируется спад, то процентная ставка по­низится до 6%. При этих условиях ожидается, что номинальная стоимость облигаций поднимется на 5%, а цена акций фонда увеличится на 20%. Ес­ли состояние экономики останется неизменным, цена акций фонда увели­чится на 8% , а номинальная стоимость облигаций не изменится. Экономи­сты оценивают в 20% шансы наступления инфляции и в 15% — наступление спада. Ваше решение относительно инвестиций принимается с учетом экономических условий следующего года.

a) Представьте задачу в виде дерева решений.

b) Будете ли вы покупать акции фонда или облигации?

14.2. Принятие решений в условиях риска

5. Фирма планирует производство новой продукции быстрого питания в нацио­нальном масштабе. Исследовательский отдел убежден в большом успехе новой продукции и хочет внедрить ее немедленно, без рекламной кампании на рынках сбыта фирмы. Отдел маркетинга положение вещей оценивает иначе и предлагает провести интенсивную рекламную кампанию. Такая кампания обойдется в 100 ООО долл., а в случае успеха принесет 950 ООО долл. годового дохода. В случае провала рекламной кампании (вероятность этого составляет 30%) годовой доход оценивается лишь в 200 000 долл. Если рекламная кампания не проводится вовсе, годовой доход оценивается в 400 000 долл. при условии, что покупателям понра­вится новая продукция (вероятность этого равна 0,8), и в 200 000 долл. с вероят­ностью 0,2, если покупатели останутся равнодушными к новой продукции.

a) Постройте соответствующее дерево решений.

b) Как должна поступить фирма в связи с производством новой продукции?

6. Симметричная монета подбрасывается три раза. Вы получаете один доллар за каждое выпадение герба (Г) и дополнительно 0,25 доллара за каждые два по­следовательных выпадения герба (заметим, что выпадение ГГГ состоит из двух последовательностей ГГ). Однако вам приходится платить 1,1 долл. за каждое выпадение решки (Р). Вашим решением является участие или неучастие в игре.

a) Постройте соответствующее дерево решений для описанной игры.

b) Будете ли вы играть в эту игру?

7. Предположим, у вас имеется возможность сыграть в игру следующего со­держания. Симметричная игральная кость бросается два раза, при этом воз­можны четыре исхода: 1) выпадает два четных числа, 2) выпадает два нечет­ных числа, 3) выпадает сначала четное, затем нечетное число, 4) выпадает сначала нечетное, затем четное число. Вы можете делать одинаковые ставки на два исхода. Например, вы можете поставить на два четных числа (исход 1) и два нечетных (исход 2). Выигрыш на каждый доллар, поставленный на первый исход, равен 2 доллара, на второй и третий исходы — 1,95 доллара, на четвертый — 1,50 доллара.

a) Постройте дерево решений для описанной игры.

b) На какие исходы следует делать ставки?

c) Можно ли иметь стабильный выигрыш в этой игре?

8. Фирма производит партии продукции с 0,8, 1, 1,2 и 1,4 % бракованных из­делий с вероятностями 0,4, 0,3, 0,25 и 0,05 соответственно. Три потребите­ля А, В и С заключили контракт на получение партий изделий с процентом некачественных изделий не выше 0,8, 1,2 и 1,4% соответственно. Фирма штрафуется в сумме 1000 долл. за каждый пункт процента³ в случае, если процент некачественных изделий выше указанного. Наоборот, поставка пар­тий изделий с меньшим процентом бракованных изделий, чем оговорено в контракте, приносит фирме прибыль в 500 долл. за каждый пункт процен­та. Предполагается, что партии изделий перед отправкой не проверяются.

a) Постройте соответствующее дерево решений.

b) Какой из потребителей должен иметь наивысший приоритет при получе­нии своего заказа?

Пункт процента — это одна десятая процента. — Прим. ред.

Глава 14. Теория игр и принятия решений

9. Фирма планирует открыть новое предприятие в Арканзасе. В настоящее вре­мя имеется возможность построить либо крупное предприятие, либо неболь­шое, которое через два года можно будет расширить при условии высокого спроса на выпускаемую им продукцию. Рассматривается задача принятия решений на десятилетний период. Фирма оценивает, что на протяжении этих 10 лет вероятность высокого и низкого спроса на производимую продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость немедленного строитель­ства крупного предприятия равна 5 млн. долл., а небольшого — 1 млн. долл. Расширение малого предприятия через два года обойдется фирме в 4,2 млн. долл. Прибыль, получаемая от функционирования производственных мощ­ностей на протяжении 10 лет, приводится в следующей таблице.

Ожидаемый доход за год (тыс. долл.)
Альтернатива	Высокий спрос	Низкий спрос
Крупное предприятие сейчас
Небольшое предприятие сейчас
Расширенное предприятие через 2 года

a) Постройте соответствующее дерево решений, принимая во внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое предприятие, ли­бо не расширять его.

b) Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на планируемый 10-летний период. (Для простоты не принимайте во внимание возможную инфляцию.)

10. Решите предыдущее упражнение, предположив, что ежегодная учетная ставка равна 10 % и что решение принимается с учетом инфляции. (Совет. Для реше­ния задачи необходимы таблицы сложных процентных ставок.)

11. Решите упражнение 9, предположив, что спрос может быть высоким, сред­ним и низким с вероятностями 0,7, 0,2 и 0,1 соответственно. Расширение не­большого предприятия будет проведено лишь в том случае, если на протяже­нии первых двух лет спрос будет высоким. Следующая таблица содержит данные о прибылях за год.

	Ожидаемый доход за год (тыс. долл.)
Альтернатива	Высокий спрос	Средний спрос	Низкий спрос
Крупное предприятие сейчас
Небольшое предприятие сейчас
Расширенное предприятие через 2 года

12. Электроэнергетическая компания использует парк из 20 грузовых автомоби­лей для обслуживания электрической сети. Компания планирует периодиче­ский профилактический ремонт автомобилей. Вероятность поломки автомоби­ля в первый месяц равна нулю, во второй месяц — 0,03 и увеличивается на 0,01 для каждого последующего месяца, по десятый включительно. Начиная с одиннадцатого месяца и далее, вероятность поломки сохраняется постоянной на уровне 0,13. Случайная поломка одного грузового автомобиля обходится компании в 200 долл., а планируемый профилактический ремонт в 75 долл.

14.2. Принятие решений в условиях риска

Компания хочет определить оптимальный период (в месяцах) между плани­руемыми профилактическими ремонтами.

a) Постройте соответствующее дерево решений.

b) Определите оптимальную длину цикла для профилактического ремонта.

13. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается сле­дующим распределением вероятностей.

п
Рп	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10

Магазин покупает булочку по 55 центов, а продает по 1,20 долл. Если булоч­ка не продана в тот же день, то к концу дня она может быть реализована за 25 центов. Величина запаса булочек может принимать одно из возможных зна­чений спроса, которые перечислены выше.

a) Постройте соответствующее дерево решений.

b) Сколько булочек необходимо заказывать ежедневно?

14. Пусть в предыдущем упражнении временной интервал, для которого необхо­димо решить задачу принятия решений, составляет два дня. Альтернативы для второго дня зависят от объема реализации булочек в первый день. Если реали­зован в точности весь запас первого дня, магазин закажет такое же количество булочек и на второй день. Если потребность в булочках в первый день пре­вышает имеющийся запас, то для второго дня магазин может заказать любой из объемов спроса на булочки, который превышает запас первого дня. И на­конец, если в первый день реализовано меньше булочек, чем было закупле­но, то для второго дня магазин может заказать любой из объемов спроса на булочки, который меньше запаса первого дня. Постройте соответствующее дерево решений и определите оптимальную стратегию заказа.

15. Автомат производит а тысяч единиц некоего продукта ежедневно. Если а увеличивается, доля брака р, будучи случайной величиной, возрастает в со­ответствии со следующей функцией плотности вероятности:

Каждое бракованное изделие приносит убыток в 50 долл., а качественное из­делие — прибыль в 5 долл.

a) Постройте дерево решений для этой задачи.

b) Определите значение а, при котором ожидаемая прибыль принимает мак­симальное значение.

16. Наружный диаметр d цилиндра, производимого автоматом, имеет верхнее и нижнее допустимые значения d + t_v и d - t_L соответственно. Производственный процесс настроен так, что величина диаметра является нормально распределен­ной случайной величиной с математическим ожиданием // и стандартным откло­нением а. Каждый цилиндр со значением диаметра, превышающим верхнее до­пустимое значение, доводится до нужных размеров за с_х долл. Цилиндр, диаметр которого меньше установленной нижней нормы, реализуется с убытком с₂ долл. Определите оптимальное значение настройки для автомата.

Глава 14. Теория игр и принятия решений

17. Критерий предельного уровня. Фирма для технических целей использует в одном из своих производственных процессов химические препараты (химикалии). Срок годности этих препаратов составляет один месяц, после чего оставшаяся их часть уничтожается. Объем используемых фирмой хи­мических препаратов (в галлонах) является случайной величиной, изме­няющейся в соответствии со следующим распределением.

Химикалии поступают в производство в начале каждого месяца. Фирма плани­рует определить количество химических препаратов, удовлетворяющих двум кон­фликтующим критериям (или предельным уровням): среднее число оставшихся химикалий не должно превышать 20 галлонов в месяц, и среднее количество не­достающих химикалий не должно превышает 40 галлонов в месяц.

14.2.2. Другие критерии ожидаемого значения

В этом разделе рассматриваются две модификации критерия ожидаемого значе­ния. Первая состоит в определении апостериорных вероятностей на основе экспе­римента над исследуемой системой, вторая — в определении полезности реальной стоимости денег.

Апостериорные вероятности Байеса. Распределения вероятностей, которые ис­пользуются при формулировке критерия ожидаемого значения, получаются, как правило, из накопленной ранее информации (см. раздел 12.5). В некоторых случаях оказывается возможным пересчитать эти вероятности с помощью текущей и/или по­лученной ранее информации, которая обычно основывается на исследовании выбо­рочных (или экспериментальных) данных. Получаемые при этом вероятности назы­вают апостериорными (или байесовскими), в отличие от априорных, полученных из исходной информации. Следующий пример показывает, как рассмотренный в разде­ле 14.2.1 критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, чтобы вос­пользоваться новой информацией, содержащейся в апостериорных вероятностях.

Пример 14.2.2

В примере 14.3.1 априорные вероятности 0,6 и 0,4 повышения и понижения котировок акций на бирже были определены из наличных публикаций финансового характера. Предположим, вместо того, чтобы полностью полагаться на эти публикации, вы реши­ли провести личное исследование путем консультаций с другом, который хорошо раз­бирается в вопросах, касающихся фондовой биржи. Друг высказывает общее мнение "за" или "против" инвестиций. Это мнение в дальнейшем определяется количественно следующим образом. При повышении котировок его мнение с 90% -ной вероятностью будет "за", при снижении котировок вероятность его мнения "за" уменьшится до 50 %. Каким образом можно извлечь пользу из этой дополнительной информации?

Мнение друга фактически представляет условные вероятности "за-против" при заданных состояниях природы в виде повышения и понижения котировок. Введем следующие обозначения:

v, — мнение "за",

I —Vпение "против",

в противном случае.

14.2. Принятие решений в условиях риска

т, — повышение котировок, т₂ — понижение котировок.

Мнение друга можно записать в виде вероятностных соотношений следующим образом.

Р{v, |/и,} = 0,9, P{v, !«,.} = 0,1,

P{v₂|/»,} = 0,5, P{v₂|m₂} = 0,5.

С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом.

1. Если мнение друга "за", акции какой компании следует покупать — А или В?

2. Если мнение друга "против", то, опять-таки, — акции какой компании следует покупать — А или В?

Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, показанного на рис. 14.5. Узлу 1 здесь соответствует случайное событие (мнение друга) с соот­ветствующими вероятностями "за" и "против". Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями А и В при известном мнении друга "за" или "против" соответ­ственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.