Определение положения главных площадок

Одной из важнейших задач инженерных расчётов является оценка прочности материалов в наиболее напряжённых точках конструкций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в которых используются главные напряжения.

В окрестностях любой точки нагруженного тела всегда имеются три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в ноль, а соответствующие полные напряжения перпендикулярны этим площадкам. Такие площадки называются главными, нормали к ним – главными осями, а нормальные напряжения – главными напряжениями (рис. 5). Главные напряжения обозначим в порядке убывания .

Полные напряжения, действующие по множеству площадок, проходящих в окрестности исследуемой точке, находятся в интервале . Величины главных напряжений являются корнями кубического уравнения:

(1.12)

где

 

(1.13)

– инварианты напряженного состояния, которые не меняются при повороте координатных осей.

Используя заданные напряжения (1.1), вычислим инварианты (1.13):

(1.14)

Подставим значения инвариантов в кубическое уравнение(1.12) и получим:

(1.15)

Чтобы уменьшить величины коэффициентов в уравнении (1.15), воспользуемся подстановкой . После преобразований получим уравнение:

(1.16)

Для отыскания корней кубического уравнения имеются готовые формулы (см. справочники по математике), но ими пользоваться неудобно. В наше время можно пользоваться РС с какой-либо вычислительной программой. В частности, можно рекомендовать программу Mathcad. В этой программе очень просто построить график функции

Точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс дадут корни полинома, т. е. значения, как это показано на рис. 6.

Если у студента нет компьютера или он не умеет пользоваться комплексом Mathcad, то он может решить уравнение (1.15) “вручную”, т. е. сначала путем подбора надо найти одно значение, обращающее в ноль полином в правой части (1.16). Допустим, это . Затем, деление полинома (1.16) на приводит к квадратному уравнению

(1.17)

Корнями этого уравнения будут два числа: -8,22 и 10,9.

Следовательно, корнями уравнения (1.16) являются числа

Числа , увеличенные в 10 раз, являются главными напряжениями . Полагая получим

; ; (1.18)

Выполним проверку найденных значений главных напряжений, вычислив инварианты напряжённого состояния и сравнив их с исходными значениями (1.14).

Разница между инвариантами при повороте осей координат возникает за счет приближенного вычисления напряжений (1.18), и в нашем случае она меньше 1%.

Если площадка, наклонная к осям является главной, то полное напряжение, действующее по этой площадке, будет перпендикулярно к ней, т. е. и его составляющие по осям координат равны

(1.19)

где – направляющие косинусы нормали к главной площадке.

Направляющие косинусы нормали к главной площадки найдем следующим образом. Подставим в уравнения (1.5) вместо их выражения в виде (1.19) и получим систему уравнений:

(1.20)

Тривиальное решение системы уравнений (1.20) в виде не может быть искомым решением, так как не будет выполняться соотношение (1.6)

Найдем искомые значения , решая систему, состоящую из уравнения (1.6) и любых двух уравнений (1.20) (например, первых двух) при условии, что , а компоненты напряжения имеют значения в виде (1.1):

(1.21)

Используя два последних уравнения (1.21), выразим и через , и подставим их в первое уравнение (1.21). Таким образом, получим квадратное уравнение относительно , из которого определяем два значения . После определения и из двух последних уравнений (1.20) получим окончательное решение системы уравнений (1.21) в виде:

или

Возникновение двух наборов направляющих косинусов в качестве решения уравнений (1.21) связано с тем, что при повороте на нормали к любой главной площадке изменяются только знаки направляющих косинусов этой нормали (рис. 7). Точность вычисления – направляющих косинусов нормали к первой главной площадке – проверяется путем подстановки в уравнение (1.6).

Таким образом, два набора направляющих косинусов соответствуют противоположным граням элементарного параллелепипеда.