рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Кинетическая энергия вращения

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия вращения - раздел Образование, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ...

Продолжим изучение динамики вращения. При обсуждении аналогии между линейным и угловым движением в гл. 18 мы использовали теорему о работе, но ничего не говорили о кинетической энергии. Какова будет кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью w? Используя нашу аналогию, можно немедленно угадать правильный ответ. Момент инерции соответствует массе, угловая скорость соответствует обычной скорости, так что кинетическая энергия должна быть равна 1/₂ Iw². Так оно и есть на самом деле, и сейчас мы покажем это. Предположим, что тело вращается вокруг некоторой оси, так что каждая точка движется со скоростью wr,-, где r_i — расстояние от данной точки до оси. Если масса этой точки равна m_i, то полная кинетическая энергия всего тела равна просто сумме кинетических энергий всех частиц

а поскольку w — постоянная, одна и та же для всех точек, то

В конце гл. 18 мы отмечали, что существуют очень интересные явления, связанные с вращением не абсолютно твердого тела, способного изменять свой момент инерции. Именно, в примере с вращающимся столом у нас был момент инерции I₁ и угловая скорость w₁ при вытянутых руках. Согнув руки, мы изменили момент инерции до I₂, а угловую скорость — до w₂. Так как у нас нет никаких моментов сил относительно оси вращения стола, то момент количества движения должен остаться постоянным. Это означает, что I₁w₁=I₂w₂. А что можно сказать об энергии? Это очень интересный вопрос. Согнув руки, мы начинаем вращаться быстрее, но момент инерции при этом уменьшается и может показаться, что кинетическая энергия должна остаться той же самой. Это, однако, неверно, потому что в действительности сохраняется Iw, а не Iw². Сравним теперь кинетические энергии в начале и в конце. В начале кинетическая энергия равна ¹/₂/Iw²₁=¹/2Lw₁, где L=I₁w₁=I₂w₂— момент количества движения. Точно таким же образом кинетическая энергия в конце равна Т=¹/₂Lw₂, а поскольку w₂>w₁, то кинетическая энергия в конце оказывается большей, чем в начале. Итак, вначале, когда руки были вытянуты, мы вращались с какой-то кинетической энергией, затем, согнув руки, мы стали вращаться быстрее и наша кинетическая энергия возросла. А как быть с законом сохранения энергии? Ведь должен же кто-то произвести работу, чтобы увеличить энергию? Это сделали мы сами! Но когда, в какой момент? Когда мы держим гантели горизонтально, то никакой работы не производим. Выпрямляя руки в стороны и сгибая их, мы тоже не можем произвести никакой работы. Это, однако, верно только, пока нет никакого вращения! При вращении же на гантели действует центробежная сила. Они стремятся вырваться из наших рук, так что, сгибая во время вращения руки, мы преодолеваем противодействие центробежной силы. Работа, которая на это затрачивается, и составляет разницу в кинетических энергиях вращения. Вот откуда берется этот добавок.

Существует еще одно очень интересное явление, которое мы рассмотрим только описательно, чтобы просто иметь о нем представление. Хотя изучение этого явления требует несколько большего опыта, но упомянуть о нем стоит, ибо оно очень любопытно и дает много интересных эффектов.

Возьмем снова эксперимент с вращающимся столиком. Рассмотрим отдельно тело и руки, с точки зрения человека, вращающегося на столике. Согнув руки с гантелями, мы стали вращаться быстрее, но заметьте, что тело при этом не изменило своего момента инерции; тем не менее оно стало вращаться быстрее, чем прежде. Если бы мы провели вокруг тела окружность и рассмотрели только предметы внутри этой окружности, то их момент количества движения изменился бы; они закрутились бы быстрее. Следовательно, когда мы сгибаем руки, на тело должен действовать момент силы. Однако центробежная сала не может дать никакого момента, так как она направлена по радиусу. Это говорит о том, что среди сил, возникающих во вращающейся системе, центробежная сила не одинока: есть еще и другая сила. Эта другая сила носит название кориолисовой силы, или силы Кориолиса. Она обладает очень странным свойством: оказывается, что если мы во вращающейся системе двигаем какой-то предмет, то она толкает его вбок. Как и центробежная сила, эта сила кажущаяся. Но если мы живем во вращающейся системе и хотим что-то двигать по радиусу, то для этого мы должны тянуть его несколько вбок. Именно эта «боковая» сила создает момент, который раскручивает наше тело.

Перейдем теперь к формулам и покажем, как кориолисова сила работает на практике. Пусть Мик сидит на карусели, которая кажется ему неподвижной. С точки зрения Джо, который стоит на земле и знает истинные законы механики, карусель крутится. Предположим, что мы провели радиальную прямую на карусели и пусть Мик двигает прямо по этой линии какую-то массу. Я хочу показать, что для того, чтобы все было так, как мы описали, необходима боковая сила. Это можно увидеть, обратив внимание на момент количества движения вращающейся массы. Она крутится все время с одной и той же угловой скоростью w, поэтому ее момент количества движения равен

L=mv_тавгr=mwr•г=mwг².

Если масса расположена близко к центру, то он сравнительно мал, но если мы передвигаем ее в новое положение и если мы увеличиваем r, то масса m приобретает больший момент количества движения, т. е. во время движения по радиусу на нее должен действовать некоторый момент силы. (Чтобы на карусели двигаться по радиусу, нужно наклониться и толкаться вбок. Попробуйте как-нибудь сами проделать это.) Поскольку момент силы равен скорости изменения L во время движения массы m по радиусу, то

где через f_k обозначена сила Кориолиса. В действительности мы хотели узнать, какую боковую силу должен прилагать Мик, чтобы двигать массу m со скоростью v_r=dr/dt. Как видите, она равна F_K=т/r=2mwv_r.

Теперь, имея формулу для кориолисовой силы, давайте рассмотрим несколько более подробно всю картину в целом. Как можно понять причину возникновения этой силы из элементарных соображений? Заметьте, что кориолисова сила не зависит от расстояния до оси и поэтому действует даже на оси! Оказывается, что легче всего понять именно силу, действующую на оси вращения. Для этого нужно просто посмотреть на все происходящее из инерциальной системы Джо, который стоит на земле. На фиг. 19.4 показаны три последовательных положения массы m, которая при t=0 проходит через ось.

Фиг. 19.4. Три последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося столика.

Из-за вращения карусели масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому кривому пути, касающемуся диаметра в точке r=0. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, должна действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила.

Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет движется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почему? Мик видит предмет движущимся со скоростью v_м, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью v_д=v_м+wr, поскольку предмет вдобавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости v_д, равной тv²_Д/r. Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в следующем виде:

Итак, F_r — это сила, которую измеряет Мик. Попытаемся понять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член? «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то такая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью v_м». Итак, это просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что должна быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третий член. Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 mwv_м. Раньше, при радиальной скорости, кориолисова сила f_k была тангенциальна. Теперь же, при тангенциальной скорости, она радиальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всегда имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости и равна по величине 2mwv.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

На сайте allrefs.net читайте: "Глава 15 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ"...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кинетическая энергия вращения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Принцип относительности
Свыше двухсот лет считалось, что уравнения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и

Преобразование Лоренца
Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, первым долгом подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду; казал

Опыт Майкелъсона— Морли
Мы уже говорили, что в свое время были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый «эфир», который, как думали тогда, пропитывает собой все пространство. Самы

Преобразование времени
При проверке, согласуется ли идея о сокращении расстояний с фактами, обнаруженными в других опытах, оказывается, что все действительно согласуется, если только считать, что время тоже преобразу

Лоренцево сокращение
Теперь мы вернемся к преобразованию Лоренца (15.3) и попытаемся лучше понять связь между системами координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t'). Будем называть их системами

Одновременность
Подобным же образом из-за различия в масштабах времени

Четырехвекторы
Что еще можно обнаружить в преобразованиях Лоренца? Любопытно, что в них преобразование х и t по форме похоже на преобразование хну, изученное нами в гл. 11, когда мы говорили

Релятивистская динамика
Теперь мы готовы к тому, чтобы с более общей точки зрения исследовать, как преобразования Лоренца изменяют законы механики. [До сих пор мы только объясняли, как изменяются длины и времена, но не об

Связь массы и энергии
Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с2. Ес

Релятивистская энергия
§ 1. Относительность и «философы» В этой главе мы продолжим обсуждение принципа относительности Эйнштейна — Пуанкаре, его влияния на наши физические возз

Парадокс близнецов
Чтобы продолжить наше изучение преобразований Лоренца и релятивистских эффектов, рассмотрим известный «парадокс» — парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Подросши, Пауль улетает на космическо

Преобразование скоростей
Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относите

Релятивистская масса
Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы н

Релятивистская энергия
Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, ока

Геометрия пространства-времени
Теория относительности показывает, что связь между местоположением события и моментом, в какой оно происходит, при измерениях в двух разных системах отсчета совсем не такая, как можно было ожидать

Пространственно-временные интервалы
Хотя геометрия пространства-времени не обычная (не евклидова), тем не менее эта геометрия очень похожа на евклидову, но в некоторых отношениях весьма своеобразная. Если это представление о геометр

Прошедшее, настоящее, будущее
Пространственно-временную область, окружающую данную т

Еще о четырехвекторах
Вернемся опять к аналогии между преобразованием Лоренца и вращением пространственных осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так

Алгебра четырехвекторов
Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. Например, тривектор импульса обозначают р. Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах рх ,pу,

Центр масс
В предыдущих главах мы изучали механику точек, или маленьких частиц, внутренняя структура которых нас совершенно не интересовала. В последующих нескольких главах мы изучим применение законов Ньюто

Вращение твердого тела
Поговорим теперь о вращении. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибрируют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующег

Момент количества движения
Хотя до сих пор мы рассматривали только специальный случай твердого тела, свойства момента и его математическое выражение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно доказать очень интерес

Закон сохранения момента количества движения
Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, ч

Свойства центра масс
В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно

Положение центра масс
Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно

Вычисление момента инерции
Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид

Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое оп

Уравнения вращения в векторном виде
Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что

Гироскоп
Вернемся теперь снова к закону сохранения момента количества движения. Его можно продемонстрировать с помощью быстро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).

Момент количества движения твердого тела
Прежде чем расстаться с вопросом о вращении в трехмерном пространстве, обсудим еще, хотя бы качественно, некоторые неочевидные явления, возникающие при трехмерных вращениях,

Линейные дифференциальные уравнения
Обычно физику как науку делят на несколько разделов: механику, электричество и г. п., и мы «проходим» эти разделы один за другим. Сейчас, например, мы «проходим» в основном механику. Но то и дел

Гармонический осциллятор
Пожалуй, простейшей механической системой, движение ко

Гармоническое движение и движение по окружности
Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движе

Начальные условия
Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и D. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движение начнется с малого отклонения, мы получим один тип колебаний; если слегка р

Колебания под действием внешней силы
Нам остается рассмотреть колебания гармонического осциллятора под действием внешней силы. Движение в этом случае описывается уравнением md2x/dt2=-kx+F(t).

Сложение и умножение
Изучая осциллятор, нам придется воспользоваться одной из наиболее замечательных, пожалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно расправляется с этой формулой

Шаг в сторону и обобщение
Если кто-нибудь, усвоив наши определения, приступит к решению алгебраических уравнений, он быстро натолкнется на неразрешимые задачи. Решите, например, уравнение b=3-5. Вам придется в соответствии

Приближенное вычисление иррациональных чисел
Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10Ö2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо Ö2

Комплексные числа
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1.

Комплексные числа и гармоническое движение
Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей глав

Вынужденные колебания с торможением
Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику надо использовать тогда, когд

Электрический резонанс
Простейшие и самые широкие технические применения резонанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элемен

Резонанс в природе
Хотя мы детально разобрали вопрос о резонансе в электрических цепях, можно приводить пример за примером из любых наук и отыскивать в них резонансные кривые. В природе очень часто что-нибудь «колеб

Энергия осциллятора
Хотя глава названа «Переходные решения», речь здесь все еще в основном идет об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Мы еще ничего не говорили об энергии колебаний. Давайте займе

Затухающие колебания
Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе

Переходные колебания в электрических цепях
Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Линейные дифференциальные уравнения
В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам на

Суперпозиция решений
Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила Fa (например, периодическая сила с частотой w=wа

Колебания в линейных системах
Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких последних главах. Физику колебательных движений очень легко затемнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень проста, и если на минуту з

Аналогии в физике
Продолжая обзор, заметим, что массы и пружинки — это не единственные линейные системы; есть и другие. В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналоги

Последовательные и параллельные сопротивления
Обсудим, наконец, еще один важный вопрос, хотя он не совсем подходит по теме. Что делать с электрической цепью, если в ней много элементов? Например, когда индуктивность, сопротивление и емкость