Шаг в сторону и обобщение - раздел Образование, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Если Кто-Нибудь, Усвоив Наши Определения, Приступит К Решению Алгебраических ...
Если кто-нибудь, усвоив наши определения, приступит к решению алгебраических уравнений, он быстро натолкнется на неразрешимые задачи. Решите, например, уравнение b=3-5. Вам придется в соответствии с определением вычитания найти число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а ведь в правилах говорится только о таких числах), вы скажете, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить. Пока алгебра состоит для нас из правил и целых чисел. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения, но сохраним правила (22.1) и (22.2) и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел (для них эти правила были выведены), а для более широкого класса чисел. Раньше мы записывали целые положительные числа в виде символов, чтобы вывести правила; теперь правила будут определять символы, а символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3-5=0-2. Давайте определим новые числа: 0-1, 0-2, 0-3, 0-4 и т. д. и назовем их целыми отрицательными числами. После этого мы сможем решить все задачи на вычитание. Теперь вспомним и о других правилах, например a(b+c)=ab+ac; это даст нам правило умножения отрицательных чисел. Перебрав все правила, мы увидим, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Мы значительно расширили область действия наших правил, но достигли этого ценой изменения смысла символов.
Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить 5 минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, вы всегда получите верный результат.
Возведение в степень приносит новые хлопоты. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы знаем, что 3-5 это решение уравнения (3-5)+5=3. Следовательно, мы знаем, что а(3-5)а5=а3. Теперь можно разделить на а5, тогда а(3-5)=а3/а5. Еще одно усилие, и вот окончательный результат: а(3-5) =1/а2. Таким образом, мы установили, что возведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а2 не было бессмысленным символом. Ведь а — это целое положительное или отрицательное число, значит, а2 больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!
Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую задачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни отрицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.
Еще один пример на степень: что такое а3/5? Мы знаем только, что (3/5) 5=3, ибо это определение числа 3/5, и еще, что (а3/5)5 =a(3/5)5, ибо это одно из правил. Вспомнив определение
корня, мы получим а(3/5)= 
. Определяя таким образом дроби, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами символов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!
Пойдем дальше по пути обобщения. Существуют ли еще уравнения, которых мы не научились решать? Конечно. Например, нам не под силу уравнение b=21/2=Ö2. Невозможно найти рациональную дробь, квадрат которой равен 2. В наше время это выяснить довольно просто. Мы знаем десятичную систему и не пугаемся бесконечной десятичной дроби, которую можно использовать для приближения корня из двух. Хотя идея такого приближения появилась еще у древних греков, однако усваивалась она с большим трудом. Чтобы точно сформулировать суть такого приближения, надо постичь такие высокие материи, как непрерывность и соотношения порядка, а это очень трудный шаг. Это сделал Дедекинд очень точно и очень формально. Однако, если не заботиться о математической строгости, легко понять, что числа типа Ö2 можно представить в виде целой последовательности десятичных дробей (потому что если остановиться на какой-нибудь десятичной дроби, то получится рациональное число), которая все ближе и ближе подходит к желанному результату. Этих знаний нам вполне достаточно; они позволят свободно обращаться с иррациональными числами и вычислять числа типа Ö2 с нужной точностью.
Все темы данного раздела:
Принцип относительности
Свыше двухсот лет считалось, что уравнения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и
Преобразование Лоренца
Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, первым долгом подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду; казал
Опыт Майкелъсона— Морли
Мы уже говорили, что в свое время были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый «эфир», который, как думали тогда, пропитывает собой все пространство. Самы
Преобразование времени
При проверке, согласуется ли идея о сокращении расстояний с фактами, обнаруженными в других опытах, оказывается, что все действительно согласуется, если только считать, что время тоже преобразу
Лоренцево сокращение
Теперь мы вернемся к преобразованию Лоренца (15.3) и попытаемся лучше понять связь между системами координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t'). Будем называть их системами
Одновременность
Подобным же образом из-за различия в масштабах времени
Четырехвекторы
Что еще можно обнаружить в преобразованиях Лоренца? Любопытно, что в них преобразование х и t по форме похоже на преобразование хну, изученное нами в гл. 11, когда мы говорили
Релятивистская динамика
Теперь мы готовы к тому, чтобы с более общей точки зрения исследовать, как преобразования Лоренца изменяют законы механики. [До сих пор мы только объясняли, как изменяются длины и времена, но не об
Связь массы и энергии
Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с2. Ес
Релятивистская энергия
§ 1. Относительность и «философы»
В этой главе мы продолжим обсуждение принципа относительности Эйнштейна — Пуанкаре, его влияния на наши физические возз
Парадокс близнецов
Чтобы продолжить наше изучение преобразований Лоренца и релятивистских эффектов, рассмотрим известный «парадокс» — парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Подросши, Пауль улетает на космическо
Преобразование скоростей
Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относите
Релятивистская масса
Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы н
Релятивистская энергия
Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, ока
Геометрия пространства-времени
Теория относительности показывает, что связь между местоположением события и моментом, в какой оно происходит, при измерениях в двух разных системах отсчета совсем не такая, как можно было ожидать
Пространственно-временные интервалы
Хотя геометрия пространства-времени не обычная (не евклидова), тем не менее эта геометрия очень похожа на евклидову, но в некоторых отношениях весьма своеобразная. Если это представление о геометр
Прошедшее, настоящее, будущее
Пространственно-временную область, окружающую данную т
Еще о четырехвекторах
Вернемся опять к аналогии между преобразованием Лоренца и вращением пространственных осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так
Алгебра четырехвекторов
Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. Например, тривектор импульса обозначают р. Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах рх ,pу,
Центр масс
В предыдущих главах мы изучали механику точек, или маленьких частиц, внутренняя структура которых нас совершенно не интересовала. В последующих нескольких главах мы изучим применение законов Ньюто
Вращение твердого тела
Поговорим теперь о вращении. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибрируют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующег
Момент количества движения
Хотя до сих пор мы рассматривали только специальный случай твердого тела, свойства момента и его математическое выражение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно доказать очень интерес
Закон сохранения момента количества движения
Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, ч
Свойства центра масс
В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно
Положение центра масс
Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно
Вычисление момента инерции
Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид
Кинетическая энергия вращения
Продолжим изучение динамики вращения. При обсуждении а
Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое оп
Уравнения вращения в векторном виде
Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что
Гироскоп
Вернемся теперь снова к закону сохранения момента количества движения. Его можно продемонстрировать с помощью быстро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).
Момент количества движения твердого тела
Прежде чем расстаться с вопросом о вращении в трехмерном пространстве, обсудим еще, хотя бы качественно, некоторые неочевидные явления, возникающие при трехмерных вращениях,
Линейные дифференциальные уравнения
Обычно физику как науку делят на несколько разделов: механику, электричество и г. п., и мы «проходим» эти разделы один за другим. Сейчас, например, мы «проходим» в основном механику. Но то и дел
Гармонический осциллятор
Пожалуй, простейшей механической системой, движение ко
Гармоническое движение и движение по окружности
Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движе
Начальные условия
Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и D. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движение начнется с малого отклонения, мы получим один тип колебаний; если слегка р
Колебания под действием внешней силы
Нам остается рассмотреть колебания гармонического осциллятора под действием внешней силы. Движение в этом случае описывается уравнением
md2x/dt2=-kx+F(t).
Сложение и умножение
Изучая осциллятор, нам придется воспользоваться одной из наиболее замечательных, пожалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно расправляется с этой формулой
Приближенное вычисление иррациональных чисел
Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10Ö2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо Ö2
Комплексные числа
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1.
Комплексные числа и гармоническое движение
Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей глав
Вынужденные колебания с торможением
Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику надо использовать тогда, когд
Электрический резонанс
Простейшие и самые широкие технические применения резонанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элемен
Резонанс в природе
Хотя мы детально разобрали вопрос о резонансе в электрических цепях, можно приводить пример за примером из любых наук и отыскивать в них резонансные кривые. В природе очень часто что-нибудь «колеб
Энергия осциллятора
Хотя глава названа «Переходные решения», речь здесь все еще в основном идет об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Мы еще ничего не говорили об энергии колебаний. Давайте займе
Затухающие колебания
Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе
Переходные колебания в электрических цепях
Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.
Линейные дифференциальные уравнения
В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам на
Суперпозиция решений
Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила Fa (например, периодическая сила с частотой w=wа
Колебания в линейных системах
Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких последних главах. Физику колебательных движений очень легко затемнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень проста, и если на минуту з
Аналогии в физике
Продолжая обзор, заметим, что массы и пружинки — это не единственные линейные системы; есть и другие. В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналоги
Последовательные и параллельные сопротивления
Обсудим, наконец, еще один важный вопрос, хотя он не совсем подходит по теме. Что делать с электрической цепью, если в ней много элементов? Например, когда индуктивность, сопротивление и емкость
Новости и инфо для студентов