Теорема Муавра-Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появляться с одной и той же вероятностью. Тогда случайная величина , представляющая собой число появлений события A в n испытаниях, будет иметь биномиальное распределение [4]. Если число испытаний велико, то и случайная величина принимает большое число возможных значений. Пользоваться такой случайной величиной затруднительно из-за сложности вычислений. Поэтому целесообразно применять теорему Муавра-Лапласа, которая доказывает сходимость последовательности случайных величин, имеющих биномиальное распределение, к нормально распределённой случайной величине.

Теорема. Пусть число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна p. Тогда при n ® ¥ имеет место соотношение

где q = 1– p; , – соответственно математическое ожидание и дисперсия биномиально распределённой случайной величины.

Таким образом, нормированная случайная величина

(2.2.6)

согласно теореме Муавра-Лапласа в пределе будет подчиняться нормированному нормальному закону распределения. Отсюда вытекает приближённое равенство, справедливое при больших значениях n:

. (2.2.7)

Найдём вероятность попадания случайной величины в интервал [m₁; m₂). Для этого подставим граничные точки m₁ и m₂ в формулу (2.2.6):

; .

Выражение (2.2.7) принимает вид

.

Используя табличные функции (2.2.3) и (2.2.4), получаем следующие рабочие формулы:

; (2.2.8) ; (2.2.9)

Если n сравнительно мало и разность |m – np| соизмерима с 0,5, то не безразлично, относятся ли граничные точки интервала [m₁; m₂) к числу возможных значений или нет. В этом случае вместо z₁ и z₂ следует брать m₁ – 0,5, m₂ – 0,5. Тогда соотношения (2.2.8) и (2.2.9) примут вид

; (2.2.10) . (2.2.11)

Следует отметить, что формулы (2.2.10) и (2.2.11) дают более точное приближение, чем (2.2.8) и (2.2.9).

Расчёты по приближённым формулам (2.2.8) – (2.2.11) могут производиться при соблюдении условия

,

которое непосредственно вытекает из (2.2.5).

Теорема Муавра-Лапласа описывает поведение биномиального распределения при больших значениях n, что позволяет значительно упростить вычисления. Расчёты по точной формуле

(2.2.12)

при больших значениях n очень громоздки.

В выражение (2.2.12) входит число сочетаний из n элементов по m:

,

где n! = 1×2×…×n, m! = 1×2×…×m.

П р и м е р 2.2. По линии связи независимо друг от друга передаётся 90 сообщений, каждое из которых состоит из пяти двоичных чисел. Вероятность искажения хотя бы одного числа в сообщении равна 0,06. Определить вероятность того, что число принятых без искажения сообщений будет находиться в интервале [82; 87].

▼ Обозначим через число неискажённых сообщений при i-й передаче. Эта случайная величина принимает значение ноль с вероятностью 0,06 и единица – с вероятностью 0,94. Следовательно

p_i = p = 0,94; q_i = q = 0,06.

Обозначим – общее число неискажённых сообщений. Тогда

,

.

По формуле (2.2.9) получаем

▲