Элементы теории оценивания

Первичной задачей обработки экспериментальных данных является задача оценивания. При её решении наибольшее распространение получил принцип максимального правдоподобия и вытекающие из него критерии и алгоритмы оценивания.

Пусть схема наблюдения имеет вид

, (2.4.1)

а вектор ошибок измерений имеет нормальное распределение

,

где – нормирующий множитель; – корреляционная матрица вектора ошибок измерений.

Учитывая, что

,

плотность распределения можно выразить через и F(A):

.

Тогда принцип максимального правдоподобия приводит к следующей функции потерь:

. (2.4.2)

Таким образом, при нормальном законе распределения выборки функция потерь является квадратичной. В частном случае, когда все элементы выборки имеют одинаковое распределение с дисперсией s² и независимы, функция потерь (2.4.2) принимает вид

. (2.4.3)

Метод оценивания, основанный на минимизации квадратичной функции потерь вида (2.4.2) или (2.4.3), называется методом наименьших квадратов (см. раздел 8). Этот метод является оптимальным и для ряда других распределений ошибок наблюдений.

Если рассматривать схему наблюдения (2.4.1) в предположении, что вектор ошибок измерений имеет распределение Лапласа, то получим функцию потерь в виде суммы модулей ошибок. Метод оценивания вектора параметров, основанный на минимизации функции потерь как суммы модулей ошибок измерений, называется методом наименьших модулей [8].

В настоящей брошюре он не рассматривается. Следует только отметить, что данный метод является оптимальным и в ряде других задач оценивания.