Принцип минимальной вероятности ошибки

Рассматриваемый принцип, так же как и предыдущий, применим в тех случаях, когда известен только условный закон распределения результатов наблюдений. Сущность принципа состоит в том, что минимизируется вероятность принятия неправильного решения. Введём следующие определения.

Ошибкой первого рода называется ошибка, представляющая собой принятие решения о том, что исследуемый объект не находится в предполагаемом состоянии, в то время как в действительности он пребывает именно в этом состоянии.

Ошибкой второго рода называется ошибка, представляющая собой принятие решения о том, что исследуемый объект находится в предполагаемом состоянии, в то время как в действительности он пребывает в другом состоянии.

В общем случае правило решения должно быть таким, чтобы обеспечивалась минимально возможная вероятность принятия ошибочных решений. Если бы была известна функция потерь или функция риска, соответствующая каждому из исходов, то задачу поиска решающего правила, минимизирующего вероятность принятия ошибочного решения, можно было бы переформулировать как задачу нахождения решающего правила, минимизирующего вероятность ошибки либо первого, либо второго рода, в зависимости от того, какая из них связана с большими потерями или большим риском.

Так как функция потерь (риска) неизвестна, то задача поиска решающего правила формулируется как задача минимизации суммы вероятностей ошибок первого и второго рода. Метод решения данной задачи рассмотрим для случая, когда исследуемый объект может находиться в одном из двух состояний E₁ или E₂. Пусть наблюдаемая переменная является скалярной, а кривые условных законов распределения при условии, что объект может находиться в состоянии E_i, , имеют вид, изображённый на рис.2.1.

Как видно из рисунка, состояниям E₁ и E₂ соответствуют некоторые подмножества значений переменной , попадание в которые результата наблюдения с наибольшей вероятностью соответствует тому или иному состоянию объекта. Поэтому, фиксируя попадание наблюдаемого результата в одно или другое подмножество, можно судить с некоторой вероятностью о состоянии, которое принял объект. Пусть такими подмножествами являются (–¥; x_a) и [x_a; +¥). Величина x_a является границей данных подмножеств. Тогда при x Î [x_a; –¥) принимается решение о нахождении объекта в состоянии E₁, а если x Î [x_a; ¥) – о нахождении объекта в состоянии E₂.

Рис.2.1. Условные законы распределения случайной величины

Поскольку кривые частично перекрываются, существует вероятность ошибки. Так, результат наблюдения с вероятностью

(2.3.5)

может попасть в область [x_a; +¥), если объект находится в состоянии E₁, но при этом будет принято решение, что он пребывает в состоянии E₂. Это означает ошибку первого рода. Наоборот, с вероятностью

(2.3.6)

результат наблюдения может попасть в область (–¥; x_a), если объект находится в состоянии E₂, но принимается решение о пребывании объекта в состоянии E₁. Будет допущена ошибка второго рода.

Если последствия ошибочных решений оценить невозможно, то очевидно, что решающее правило должно обеспечивать минимум суммы вероятностей (2.3.5) и (2.3.6). Так как данное правило состоит в определении границы x_a, она должна выбираться таким образом, чтобы минимизировать величину

.

Общих правил выбора оптимального значения x_a не существует. На практике чаще всего минимизируется вероятность ошибки первого рода до определённой заранее назначенной величины. На основе этого и выбирается значение критической границы.

В том случае, когда объект может находиться более чем в двух состояниях, применение рассмотренного принципа существенно усложняется. Ввиду этого используется не сам наблюдаемый параметр, а построенная на его основе специальная функция, так называемый показатель согласованности (см. раздел 7).

Следует отметить, что на основе рассмотренных выше принципов может быть сформировано большое число показателей и критериев принятия решений, специфика построения которых определяется особенностями конкретной задачи.