Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция задана на интервале дважды дифференцируема. Если в точке выполняется условие то функция в точке достигает локального минимума. Если же в точке выполняется условие и то в этой точке функция достигает локального максимума.

3.1. Исследовать функцию на монотонность

Решение. Областью определения функции является отрезок На интервале (0, 4) определена производная функции Производная зануляется при и не существует в точках и но эти точки находятся на границах области определения.

Определим знак производной:

знак

поведение y

Таким образом, функция монотонно возрастает на множестве и монотонно убывает на множестве ►

3.2. Функция определена на множестве и дифференцируема на интервале По графику производной функции определить интервалы монотонности и точки экстремума функции.

 

 

Решение. Производная зануляется в точках эти точки являются критическими. На множестве выполняется неравенство тогда на этом множестве функция монотонно возрастает. На множестве выполняется неравенство и на этом множестве функция убывает.

Определим знак производной функции

знак

 

В силу первого достаточного условия экстремума точки и являются точками локального максимума функции, а точка является точкой локального минимума. ►

3.3.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Найдем Имеется одна критическая точка Укажем знак производной:

знак

поведение y

 

На множестве функция возрастает, а на множестве она убывает. Точка является точкой максимума (локального максимума). ►

3.4. Дан график функции

 

Указать точки, в которых производная функции не существует.

Решение. В точках нарушается гладкость функции, эти точки являются угловыми. Поэтому в точках не существует производной функции.►

Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.