Исследование функций и построение их графиков

При построении графиков функций рекомендуется последовательно рассматривать следующие вопросы:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Исследовать функцию на непрерывность.

5. Исследовать функцию на наличие асимптот.

6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

9. Для уточнения графика вычислить координаты дополнительных точек.

Пункты 2, 3 и 5 для некоторых видов функций опускаются.

6.1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. т.е. функция четная, ее график симметричен относительно оси

3. Исследование на периодичность не проводится.

4. Функция непрерывна во всех точках. Вертикальных асимптот нет.

5. Горизонтальных асимптот нет.

Так как то наклонных асимптот нет.

6.

Точки являются критическими. Покажем знак первой производной:

знак

поведение y

 

Функция y возрастает на множестве

Функция y убывает на множестве

Точки и являются точками максимума функций. Точка является точкой минимума функции. Находим значения функции в точках локального экстремума:

7. при Определяется знак второй производной:

 

знак

поведение y

 

Функция выпукла вверх на множестве Функция выпукла вниз на множестве Точки являются точками перегиба. Находим значения функции в точках перегиба

8. Определим точки пересечения с осями координат:

1) График функции проходит через начало координат.

2) т.е. Точками пересечения с осью абсцисс являются точки

Строим график функции

 

 

►

6.2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции

2. Функция не является четной или нечетной.

3. Функция не является периодической

4.

Прямая является вертикальной асимптотой.

5. Возможна наклонная асимптота, так как Тогда и является наклонной асимптотой.

6. при и Покажем знаки производной:

знак

поведение y

 

На множестве функция возрастает. На множестве функция убывает. Точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума. Значения функции в точках экстремума

7. решения нет. При вторая производная не определена, но в этой точке и сама функции не определена. Укажем знак второй производной:

 

знак

поведение y

 

На множестве график функции выпуклый вверх, а на множестве график функции выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

8. Точка пересечения с осями единственная – начало координат

Нарисуем график функции

 

 

►

6.3. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена на множестве

2. 3. Исследование на четность и периодичность не проводится.

4. Функция непрерывна на области определения.

5. и является вертикальной асимптотой.

Поэтому является горизонтальной асимптотой.

6. при Покажем знаки производной:

знак

поведение y

 

Функция возрастает на интервале и убывает на множестве Точка является точкой максимума,

7. при Определяем знак второй производной:

знак

поведение y

 

График функции выпуклый вверх на множестве и выпуклый вниз на множестве Точка является точкой перегиба,

8. при

Построим график функции

 

Исследовать функции и построить их графики:

6.4. 6.5.

6.6. 6.7.

6.8. 6.9.