Производные высших порядков.

Производной -го порядка (или -ой производной) называется производная от порядка:

(2.23)

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначения производных высших порядков функции

.

2.1.Найти производные функций:

а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение.

а) Используем правило (2.2), (2.1), и формулу (2.9) получим

.

б) Используя формулы (2.2), (2.9), (2.10), (2.7) имеем

в) Используя правило (2.3), и формулы (2.11), (2.13) получаем

г) При вычислении производной функции, равной произведению более двух функций, ее представляют в виде произведения двух функций :

Дважды используем правило (2.3):

Используем формулы (2.10), (2.15), (2.9):

д) Используется правило (2.4), (2.2), (2.1) и формулы (2.19) (2.7), (2.8). Имеем

. ►

2.2.Найти производные функций:

а); б) ;

в) ; г) .

Решение.

В этих примерах рассматриваются производные сложных функций.

а) Введем функцию , тогда .

Используем правило (2.5), и формулу (2.14):.

.

б) Введем функцию , тогда .

Используем правило (2.5), и формулы (2.14), (2,9):

в) Введем функцию , тогда . Используем правило (2.5) и формулы (2.10), (2.17):

.

г) Правило вычисления производной сложной функции используется дважды. Введем функцию , тогда и используем формулы (2.5) и (2.16):

Пусть , тогда

Используем правило (2.5), и формулу (2.12):

Тогда ►

2.3.Вывести формулу вычисления производной функции , где ,
- постоянная.

Использовать полученную формулу при вычислении производной функции .

Решение.

1) Можно использовать формулу (2.4) или (2.5). Согласно формуле (2.9) имеем .

Тогда .Поэтому

(2.24)

2) Введем , тогда

Используем формулу (2.24) и (2.18):

►

2.4.Найти производные функций

а);

б)

Решение.

а) Основание и показатель степени являются функциями от аргумента .

Используем метод логарифмического дифференцирования:

,

,

;

;

б) Производная вычисляется аналогично примеру. а) Проведем метод логарифмического дифференцирования:

;

;

;

;

;

;

. ►

2.5.Найти производную функции

в точке .

Решение.

В заданной функции является постоянной, а - переменной. Используем формулу

, тогда

Имеем . ►

2.6.Найти производнуюнеявной функции

Решение.

Возьмем производную от левой и правой частей тождества, учитывая, что зависит от переменной :

,

,

,

,

.

Выразим из уравнения:

. ►

2.7.Найти производные , функции, заданной параметрически.

Решение.

Найдем производные от заданных функций по переменной ;

,

Используем формулу (2.22) для нахождения производной функции по :

:

Найденная производная является функцией от переменной . Получили новую функцию, заданную параметрически:

Используем формулу (2.22). Тогда

:

Найдем производную от функции по переменной :

Имеем

. ►

2.8.Найти производную 3-го порядка функции

Решение. Последовательно дифференцируем функцию:

;

;

. ►

2.9.Найти производную - го порядка функции .

Решение. Для некоторых функций можно вывести формулу -ой производной.

Проводится последовательное дифференцирование функции:

;

;

. ►

 

Найти производные функций:

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

 

Найти производные от неявной функции;

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

 

Найти производные функций заданных параметрически:

2.29. 2.30.

 

2.31. 2.32.

 

Найти производные второго порядка функций:

2.34. 2.35.

2.36. 2.37.

Найти производные -го порядка функций:

2.38. 2.39.

2.40.Показать, что функцияудовлетворяет уравнению