Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность.
Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность. - раздел Образование, МАТАНАЛИЗ 3 Числовую Последовательность Обозначают
...
Числовую последовательность обозначают
Число называют -м членом последовательности, а формулу - формулой общего члена последовательности.
Числовую последовательность можно рассматривать как числовую функцию, определенную на множестве натуральных чисел.
Пусть задана числовая последовательность
Определение. Выражение вида
(32)
называется числовым рядом, числа - членами ряда, а число - общим (n-м) членом ряда.
Сумма конечного числа первых слагаемых числового ряда называется -й частичной суммой данного ряда
Таким образом, с каждым рядом связана последовательность частичных сумм
(33)
Если последовательность частичных сумм ряда (32) имеет конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой данного ряда:
Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Выражение вида называется n-м остатком ряда (32).
Для того чтобы ряд (32) сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при :
(34)
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то
(35)
Заметим, что из выполнения условия (35) не обязательно следует сходимость ряда (32). Но если условие (35) не выполняется, т. е. предел при не равен нулю или не существует, то ряд (32) расходится.
Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то ряд расходится.
Пример 16. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член данного ряда
Найдем предел при :
Следовательно, данный ряд расходится.
Свойства сходящихся числовых рядов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость.)
Теорема 2. Если ряды и сходятся, и их суммы равны , соответственно, то ряд также сходится и
Теорема 3. Если ряд сходятся, и его сумма равна S, то ряд также сходится и ,
Пример 17. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии со знаменателем
Исследовать на сходимость ряд
Решение. Найдем сумму первых членов ряда
Учитывая, что найдем предел - ой частичной суммы при :
Следовательно, данный ряд сходится при , и его сумма равна .
При ряд имеет вид: а
Тогда поэтому ряд расходится.
При получаем ряд:
Данный ряд расходится, так как последовательность частичных сумм: не имеет предела.
Рассмотрим числовой ряд с неотрицательными членами и сформулируем достаточные признаки сходимости этого ряда.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.
Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление опр
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Определение
Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб
называют 
-м членом последовательности, а формулу 
- формулой общего члена последовательности.
(32)
- членами ряда, а число 
- общим (n-м) членом ряда.
(33)
частичных сумм ряда (32) имеет конечный предел 
, то ряд называется сходящимся, а число 
называется n-м остатком ряда (32).
:
(34)
сходится, то
(35)
при
и 
сходятся, и их суммы равны 
, соответственно, то ряд 
также сходится и 
также сходится и 
,
первых членов ряда
найдем предел 
, и его сумма равна 
.
ряд имеет вид: 
а
поэтому ряд расходится.
получаем ряд:
не имеет предела.
и сформулируем достаточные признаки сходимости этого ряда.
Новости и инфо для студентов