Решение линейного уравнения методом подстановки - раздел Образование, МАТАНАЛИЗ 3 Решение Уравнения (20) Будем Искать В Виде Произведения Двух Функций От ...
Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от
Подставим у и у' в уравнение (20):
(22)
Сгруппируем слагаемые с в первой степени (можно с u):
Выберем функцию такой, чтобы множитель с обращался в .
Таким образом, получим систему
Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно и , найдем искомую функцию .
Так как одна из неизвестных функций иможет быть выбрана произвольно, то в качестве возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения , а в качестве возьмем общее решение второго уравнения системы , в которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию .
Общее решение уравнения (20) запишем в виде , подставив найденные функции.
Замечание. Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель u в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале , а потом .
Пример 12. Решить задачу Коши
Решение. Данное уравнение линейно относительно у и у' .
Решение ищем в виде
Подставим у и у' в уравнение
Вынесем в первой степени за скобки
Полагаем , тогда
Таким образом, получим систему
Решаем первое уравнение системы, Это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя полученное уравнение, имеем
(постоянную интегрирования при нахождении не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения ).
Далее
Подставим во второе уравнение системы и найдем :
Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:
Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие найдем с.
Подставив и в общее решение линейного уравнения, получим
Тогда частное решение линейного уравнения при имеет вид:
Пример 13. Решить задачу Коши
Решение. Данное уравнение нелинейно относительно и .
Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что :
Полученное уравнение линейно относительно и .
Решение будем искать в виде
Тогда
Подставим и в уравнение
Вначале решаем первое уравнение системы
- частное решение первого уравнения системы.
Подставим во второе уравнение системы :
Вычислим отдельно каждый интеграл:
б)
Подставляя решение этих двух интегралов в , получим
Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:
Воспользуемся начальными условиями и найдем .
Тогда частное решение линейного уравнения (23) при имеет вид:
5. Уравнение Бернулли
Определение. Уравнение вида
(24)
называется уравнением Бернулли, где и - непрерывные функции от , , .
Замечание. При получается линейное уравнение первого порядка относительно и , а при получается уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Решение линейного уравнения методом подстановки
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.
Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление опр
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Определение
Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб
(22)
в первой степени (можно с u):
такой, чтобы множитель с 
обращался в 
.
.
может быть выбрана произвольно, то в качестве 
, а в качестве 
, в которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию 
, подставив найденные функции.
, тогда 
Это уравнение с разделяющимися переменными.
не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения 
во второе уравнение системы и найдем 
найдем с.
и 
в общее решение линейного уравнения, получим
имеет вид:
и 
.
:
.
в уравнение
во второе уравнение системы 
:
и найдем 
.
имеет вид:
(24)
и 
- непрерывные функции от 
, 
, 
.
получается линейное уравнение первого порядка относительно 
и 
, а при 
получается уравнение с разделяющимися переменными.
(25)
в уравнение (25) вместо 
:
(26)
Новости и инфо для студентов