рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
IV. Функциональные ряды

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

IV. Функциональные ряды

IV. Функциональные ряды - раздел Образование, МАТАНАЛИЗ 3 Пусть ...

Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.

Определение. Ряд вида

(39)

членами которого являются функции называется функциональным.

Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда (39).

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.

Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что

где n-я частичная сумма ряда, сумма ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам и ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .

Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве .Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.

Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:

1. (О непрерывности суммы функционального ряда)

Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на .

2. (О почленном интегрировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке , то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , и справедливо неравенство:

причем ряд сходится равномерно на отрезке .

3. (О почленном дифференцировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции , а ряд сходится равномерно на , то ряд (39) сходится равномерно на , его сумма - непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТАНАЛИЗ 3

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: IV. Функциональные ряды

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геоло

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати . Формат 60Ч84/16. Бумага «Снегурочка». Печать Xerox. Усл.печ.л. 1,16. Уч.-изд.л. 1,05. Заказ . Тираж экз.

Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей

Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление опр

Неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть функция определена на некотором интервале

Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал

Метод подстановки
Пусть имеет первообразную, а

Метод интегрирования по частям
Пусть и

Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где

Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций. I. где

Определенный интеграл
Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция

Рассмотрим частные случаи
1. Функция постоянна на

Теорема существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на

Замена переменных в определенном интеграле
Пусть - непрерывна на

Интегрирование по частям
Для любых непрерывно дифференцируемых на функций

Несобственные интегралы
Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале

Пусть теперь функция непрерывна на интервале и . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом, по определению

Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом.
Таким образом, то есть,

Вычисление площади плоской фигуры
Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется по формуле (8)

Длина дуги кривой
Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует з

Объем тела
Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь сечения тела, плоскостями,

Аналогично, вокруг оси 0у.
(16) Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Определение

Умножим обе части уравнения на 2

Уравнения вида
(12) где

Однородные уравнения
Определение. Функция называется однородной функцией степени

Решение.
Данная функция является однородной степени m = 1.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Решение линейного уравнения методом подстановки
Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , н

Нахождение общего решения уравнения
Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность.
Числовую последовательность обозначают Число

Интегральный признак Коши
Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке

Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера) Пусть для ряда

Признак сравнения
Если для членов ряда справедливо неравенство

Предельный признак сравнения
Пусть даны знакопеременные ряды . Если существует конечный и отличный от нуля

V. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:

Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел
Ряд сходится, если

Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой
Тогда

Ряды Тейлора и Маклорена
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале

Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
где